Bestemmelse af forskrift for potensfunktioner

Sætning: Forskrift entydigt bestemt ved to punkter

Da potensfunktioner er monotone (enten voksende gennem hele definitionsmængden eller aftagende gennem hele definitionsmængden), vil to punkter på funktionens graf entydigt bestemme funktionens forskrift.

Sætning (Topunktsformlen for potensfunktioner)

Hvis grafen for en potensfunktion går gennem de to punkter og , hvor , kan konstanterne a o g b bestemmes ved og

Bevis

Med to kendte punkter kan et system af to ligninger med to ubekendte opstilles af ligningerne (I) og (II) . Vi deler nu (II) med (I), hvorved vi får. Her indses let, at b er elimineret: . Det sidste lighedstegn fås af brøk-i-potens-reglen . Vi har med en ligning "i a", fordi b er elimineret ud af ligningen og a er den eneste ubekendte. Ligningen er eksponentiel og løses derfor ved logaritmering: . Det sidste lighedstegn fremkommer ved reglen om logaritme af potens, . Nu kan eksponenten a isoleres, og vi får som ønsket. Koefficienten b findes ved at indsætte a i enten (I) eller (II). Her vælges (I): , en ligning i b, da ligninens øvrige tre størrelser er kendt. Isoleres b, fås det søgte udtryk . Beviset for potensfunktionens topunktsformel er nu færdigt, da vi har udtryk for både a og b udtrykt ved de to kendte koordinatpars værdier.

Eksempel / demo -- prøv at flytte P og Q

Opgave

Bestem forskriften for potensfunktionen, hvis graf går gennem de angivne punkter: a) (1,2) og (6,64) b) (25;0.04) og (54;0.0126) c) (4,20) og (9,30) d) (5;0.16) og (10;0.04)

Sætning (for procentvis tilvækst i x konstant procentvis tilvækst i y)

Om potensfunktionen gælder der, at hvis x øges med procentsatsen , øges y med procentsatsen og der gælder følgende sammenhæng: , der kan omskrives til

Opgave

Vi betragter funktionen . a) Med hvor mange procent øges y, når x øges med 20%? b) Med hvormange procent skal x øges, så y øges med 40%?

Opgave

a) Med hvor mange procent forøges funktionen , hvis x forøges med 10%? b) Med hvor mange procent aftager , hvis x aftager med 20%?

Opgave

Om en potensfunktion vides det, at hvis x forøges med 15%, forøges med 20%. Bestem a.

Kilder

Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergaard MAT C hhx Systime 2009