Parablens toppunkt

Forfatter: Morten Engelsmann

Andengradspolynomiets graf er en parabel

Da polynomier er funktioner, har de et krav at leve op til: "Den lodrette linietest": En lodret linie (parallel med y-aksen) skærer grafen i højst et punkt. Parabler er som sådan ikke bundet til at skulle vende, så de opfylder dette, men hvis man vil repræsentere parabler med en funktion, er man henvist til den form, som andengradspolynomiet dikterer.

Definition: Toppunkt

Parablen er spejlsymmetrisk. Dersom grenene vender opad (a>0), vil grafen derfor have et punkt med en laveste y-værdi. I modsat fald (a<0), vil grafen have et punkt, hvor y-værdien er højere end noget andet sted på grafen. I begge tilfælde kaldes dette punkt toppunkt. Strengt taget findes andre parabler end de, der har lodret symmeriakse, se fx dette arbejdsark. Men alle parabler med lodret symmetriakse kan udtrykkes ved en andengradsfunktion.

Parabel som simpel andengradsfunktion

Opgave 1a

Indstil skyderen, så . Beregn , når . Brug symmetri omkring spejlingslinje til at forklare funktionsværdien .

Opgave 1b

Brug app'en hverover til at tegne grafen for . Afgør ved aflæsning, om punktet (1,-2) ligger på grafen.

Opgave 1c

Lad være givet. Hvis grafen har punkter i højden y=-4, hvad er da den eller de tilsvarende x-værdier? Hvis grafen ingen punkter har i denne højde, brug da app'en ovenfor til at vise, at der ikke er punkter på grafen i denne højde.

"Forbehandling" af x-værdien flytter vandret

Vi kan flytte parablen vandret ved at "forklæde", eller præparere x-værdierne inden de kommer ind i parabel-regneren f: Hvis vi trækker p fra inden vi beregner parabelpunktets højde (funktionsværdi), får vi g(x)=f(x-p).

Parablen forskudt vandret

Opgave 2

Indstil appen herover med formen (, blå graf), så parablens højre gren cirka går gennem punktet (2,2). Skriv forskriften (med de fundne værder af a og p) som svar herunder

Tillæg efter beregning af parabelpunkt flytter lodret

Vi kan flytte parablen lodret ved at lægge tal q til, når vi har beregnet parabelpunktets højde (funktionsværdi). Hermed får vi h(x)=g(x)+q. Denne form betegner vi parallelforskydningsformen.

Parablen forskudt både vandret og lodret

Sætning: Toppunktets koordinater

Dersom andengradspolynomiet er givet på parallelforskydningsformen,

, er toppunktets koordinater

. Har andengradspolynomiet standardformen,

, gives toppunktet ved

Opgave 3a

a) Skriv andengradsfunktionens forskrift op på parallelforskydningsformen: , toppunkt .

Opgave 3b

Omskriv resultatet af 3a (andengradspolynomiet på parallelforskydningsform, ) til formen (standardformen for et andengradspolynomium). Da a optræder i begge, bedes du gøre opmærksom på, hvilket a-værdi, der er fra parallelforskydningsformen og hvilken a-værdi, der er fra standardformen.

Opgave 3 c

c) Find toppunktet for med brug af sætningen. Kontrollér toppunktets koordinater ved hjælp af app'en herover.

Værdimængden og toppunkts andenkoordinat

Hvis "vendepunktet" for parablen er med på den del af grafen, som du undersøger (toppunktets førstekoordinat ligger i definitionsmængden, altså

), vil største (a<0) eller mindste (a>0) funktionsværdi (y-værdi) kunne bestemmes som toppunktets y-værdi. En undersøgelse af et andengradspolynomium mht. værdimængde vil derfor først bestemme, om definitionsmængden indeholder

, og hvis den gør, finde toppunktets andenkoordinat. Sammen med fortegnet for koefficienten a har man så en ledetråd for, hvilken ende af intervallet Vm(p) og hvilken værdi, intervalenden antager.

Definition

I sætningen betegnes størrelsen d diskriminant,

(*) Bevis

Udregning af parallelforskydningsformen giver

. Her har vi koefficient til x svarende til b og den afsluttende parentes, der svarer til c, idet der ikke er ganget x på de to led i parentesen. Vi søger toppunktets koordinater,

, og kan fra udtrykket fundet for b isolere p:

. Dermed er toppunktets førstekoordinat fastlagt. Vi går videre til "afsluttende parentes", hvor

. Substitution af p giver

, hvormed toppunktets andenkoordinat er fastlagt. Toppunktet altså

, og beviset er færdigt. En klar gennemgang af to måder at bevise sammenhængen mellem parameterværdierne a, b og c i standardformen af andengradspolynomiet og koordinaterne for dettes toppunkt (med lidt andre formuleringer) findes på matematikeren.dk. Her gennemgås to metoder, og det som tekst og eksempler ovenfor lægger op til, er parallelforskydningsmetoden til at bevise sammenhængen mellem andengradspolynomiet udtrykt på "abc-formen" og koordinatparret for grafens toppunkt. (Forskydningerne sker parallelt med koordinatsystemets akser).

Bestemmelse af værdimængde for andengradsfunktionen p(x)