Fórmula de Euler y Poliedros "con agujeros"
- Tema:
- Geometría
La fórmula de Euler nos dice que, todos los poliedros que "no tienen agujeros", sorprendentemente cumplen una misma igualdad, no importa la forma que tengan:
Vértices - Aristas + Caras = 2
Pero,
- De verdad ¿un poliedro puede tener agujeros?
- ¿Habrá alguna otra fórmula mágica para V - A +C?
Demostración/justificación intuitiva de la fórmula de Euler
- El resultado es válido para poliedros que puedan "inflarse" hasta convertirse en una esfera (por tanto no para los que tienen agujeros):
- Una vez inflado y convertido en esfera, bastará probarlo para la propia esfera (dividida en varias caras mediante aristas).
Por inducción:
- Una sola arista, que sale y vuelve a un mismo vértice: V=1, A=1, C=2, así que V-A+C =1-1+2 =2. La fórmula se cumple.
- Al añadir un único vértice sobre una arista, tendremos un vértice más, pero la arista queda dividida en 2, así que hay una arista más. No se añaden caras. Por tanto, la fórmula sigue siendo válida al añadir cualquier número finito de vértices sobre las aristas, en cualquier momento.
- Al añadir una nueva arista conectando dos vértices ya existentes (creados, por ejemplo en el paso anterior): - no se introducen vértices nuevos, - hay una arista más, pero que divide una cara en dos, con lo que hay una cara más. - La fórmula V-A+C=2 sigue siendo válida.
¿Y cuando hay agujeros?
Al contar, hay que tener cuidado con los "agujeros":
Si hacemos un agujero en una cara, el resultado no es un polígono, así que no podemos considerarlo una cara sino la unión de varias, y hay que rehacer los cálculos.
- Un cuadrado sin agujeros tiene: 1 cara, 4 vértices y 4 aristas. Para el recuento de V-A+C, aportaba "1"(no sale 2 porque esto no es un poliedro; habría que cerrarlo con más caras, haciendo un cubo)
- Al hacer un agujero, no resulta una figura de 1 cara, 8 vértices y 8 aristas, así que para el recuento V-A+C no resulta 8-8+1=1. Hay que considerar
- Una figura de 4 caras, 8 vértices y 12 aristas, que para el recuento V-A+C resulta 8-12+4=0. ¡Se pierde 1 en el recuento!