Mathematik-Olympiade, Aufgabe 551232
Aufgabe:
Die Strecke A B ist der Durchmesser eines Halbkreises h. Auf diesem Halbkreis liegt der Punkt C, der Verschieden von den Punkten A und B sein soll. Der Fußpunkt des Lotes von C auf die Strecke A B heißt D. Der Kreis k liegt außerhalb des Dreiecks A D C und berührt gleichzeitig den Halbkreis h und die Strecken A B und C D. Der Berührungspunkt des Kreises k mit der Strecke A B ist der Punkt E.
Man beweise, dass die Strecken A C und A E gleich lang sind.
Die Konstruierung des gegebenen Sachverhaltes in GeoGebra stellt sich schnell als deutlich komplizierter heraus, als anfangs erwartet. GeoGebra ist nämlich nicht dazu in der lage, aus drei Geraden als Tangenten, geschweige denn aus nicht geradlinigen Teilen einen Kreis zu Konstruieren, sodass der Kreismittelpunkt des kleineren Kreises auf einem anderen Weg bestimmt werden muss.
Da ein solcher Weg nur sehr schwierig zu finden ist, basiert die erste Konstruktion (links oben) auf der zu beweisenden Annahme der Aufgabe.
Durch verändern des Punktes C (hier C_1) zeigt sich, dass alle möglichen Kreismittelpunkte auf einer Parabel mit dem Mittelpunkt des Halbkreises h (hier h_2) als Brennpunkt und der Tangente an h (h_2) über dem Mittelpunkt von h als Leitlinie liegen.
Dass diese Parabel gleich ist mit der Menge aller Punkte die den gleichen Abstand zu h (h_2) und A B haben, müsste für einen weiteren Beweis allerdings noch bewiesen werden.
Unter dieser Annahme entstand dann die zweite Konstruktion (rechts unten), in der der Sachverhalt ohne die zu beweisende Annahme Konstruiert ist, und durch die veranschaulicht werden kann, dass die zu beweisende Annahme stimmt, was aber dann noch kein Beweis ist.
Einen solchen, echten Beweis mithilfe von GeoGebra zu finden ist zwar möglich, aber dass die Annahme sich als richtig erweist, hilft nicht weiter.
Ein evtl. gefundener Lösungsweg könnte allerdings wahrscheinlich gut mithilfe des Programms dargestellt werden.