Irrationalité de √2
Preuve de Tom Apostol
Construisons un triangle rectangle isocèle de côtés 1. Reportons la longueur 1 sur l'hypoténuse.
Supposons que les longueurs 1 et √2 soient multiples entiers de la même longueur de base ε. Alors √2-1, le complément de 1 sur l'hypoténuse, l'est aussi. En tirant à angle droit depuis l'hypoténuse, on construit un nouveau triangle rectangle isocèle, de côtés √2-1 (en rouge) et d'hypoténuse son complément à 1, soit 2-√2. Qui est donc également multiple entier de la longueur de base ε.
En un pas, on construit à partir d'un triangle rectangle isocèle un deuxième, plus petit, qui lui est semblable. En supposant que les côtés du premier sont multiples entiers d'une même longueur ε, on obtient la même conclusion pour le second. En quoi cela prouve-t-il que √2 est irrationnel?