Üstel Fonksiyonun Ters Fonksiyonu
Ön Bilgileri Uyandırma
Herhangi pozitif gerçel a sayısının rasyonel veya irrasyonel kuvvetlerini
tanımlamıştık. Buna göre a pozitif gerçel sayı ve a ≠ 1 olmak üzere
f : IR → IR, f(x) = fonksiyonuna üstel fonksiyon demiştik.
f(x) = fonksiyonunun tanım kümesi gerçel sayılar kümesidir. a'yı değiştirerek
farklı üstel fonksiyonlar elde etmiştik. Örneğin,
, veya
fonksiyonları birer üstel fonksiyondur.
Şimdi fonksiyonunun için karşılık gelen değerlerini bulup grafiğini nasıl çizdiğimizi hatırlayalım.
f(x)=3^x'in grafiği
Siz söyleyin
in grafiği nasıldı?
Logaritma Fonksiyonunun Tanımı
a ve b pozitif gerçel sayılar ve a ≠ 1 olmak üzere ("a tabanına göre b nin logaritması") sayısını tanımlamıştık. Hatırlayalım ki 
öyle bir c sayısına eşittir ki kuvveti b' ye eşit olsun. Buradan eşitliği elde edilir. nin tanımında b yerine x koyarsak fonksiyonunu elde ederiz. Bu fonksiyona a tabanlı logaritmik fonksiyon denir. Logaritmik fonksiyonun tanım kümesi tüm pozitif gerçel sayılardır. Logaritmik fonksiyon üstel fonksiyonunun ters fonksiyonu olarak da tanımlanabilir. Biz üstel fonksiyonun bire-bir olduğunu daha önce söylemiştik. Buna göre 
eşitliğinden x'i bulursak elde ederiz. Ters fonksiyonun tanımında açıkladığımız gibi burada x yerine y, y yerine x yazarsak in ters fonksiyonu olan logaritmik fonksiyonunu elde ederiz.
Şimdi in ters fonksiyonu olan grafiğini a>1 , 0<a<1 ve a<0 değerleri için karşılaştırarak inceleyelim.
öyle bir c sayısına eşittir ki kuvveti b' ye eşit olsun. Buradan eşitliği elde edilir. nin tanımında b yerine x koyarsak fonksiyonunu elde ederiz. Bu fonksiyona a tabanlı logaritmik fonksiyon denir. Logaritmik fonksiyonun tanım kümesi tüm pozitif gerçel sayılardır. Logaritmik fonksiyon üstel fonksiyonunun ters fonksiyonu olarak da tanımlanabilir. Biz üstel fonksiyonun bire-bir olduğunu daha önce söylemiştik. Buna göre eşitliğinden x'i bulursak elde ederiz. Ters fonksiyonun tanımında açıkladığımız gibi burada x yerine y, y yerine x yazarsak in ters fonksiyonu olan logaritmik fonksiyonunu elde ederiz.
Şimdi in ters fonksiyonu olan grafiğini a>1 , 0<a<1 ve a<0 değerleri için karşılaştırarak inceleyelim.SORU 1) a<0 için grafiğin durumu nasıldır? Neden böyle olduğu hakkında fikriniz nedir?
(ipucu: üstel fonksiyonun görüntü kümesi ne idi?)
SORU 2) 0<a<1 için ve a>1 grafik nasıl değişmektedir?
SORU 3) Logaritmik fonksiyonun artan veya azalanlığı hakkında ne söylenebilir? a'nın hangi değerleri için artan ve hangi değerleri için azalandır?
Şimdi de fonksiyonunun a,b ve c için değişim durumunu gözlemleyelim.
GÖREV: Siz de yerinizde tabletlerinizden yardım alarak ve grafiklerini çizmeyi deneyiniz.