Eukleidova věta o výšce a věta k ní obrácená

Hypotéza:

Eukleidova věta o výšce (formulace 1):

každém pravoúhlém trojúhelníku je obsah čtverce sestrojeného nad výškou k přeponě roven obsahu obdélníka, jehož strany tvoří úseky přepony rozdělené touto výškou. ()
Je dobré si uvědomit, že věta má formu IMPLIKACE (stejně jako věta Pythagorova):

Eukleidova věta o výšce (formulace 2):

Je-li daný trojúhelník pravoúhlý, potom je obsah čtverce sestrojeného nad výškou k přeponě roven obsahu obdélníka, jehož strany tvoří úseky přepony rozdělené touto výškou. ()

Důkaz 1 (Eukleidův důkaz pomocí podobnosti trojúhelníků):

Důkaz provedeme ve dvou krocích:
  1. Dokážeme větu, že výška na přeponu rozdělí pravoúhlý trojúhelník na dva trojúhelníky jemu podobné. Tato věta je v Eukleidových Základech větou VI.8
  2. Z této věty nyní snadno vyvodíme požadovaný vztah . Viz důsledek věty VI.8 v Základech

Důkaz 2 (pomocí přeskupení ploch):

Důkaz 3 (pomocí shodnosti trojúhelníků):

Věta obrácená k Eukleidově větě o výšce (kritérium pravoúhlosti trojúhelníku):

Stejně jako pro Pythagorovu větu i zde existuje věta obrácená: Pokud v daném trojúhelníku platí, že obsah čtverce sestrojeného nad výškou je roven obsahu obdélníka, jehož strany tvoří úseky strany rozdělené touto výškou (), potom je tento trojúhelník pravoúhlý s pravým úhlem proti této straně.
Tato obrácená věta se používá, pokud potřebujeme dokázat, že daný trojúhelník je pravoúhlý (jako kritérium pravoúhlosti trojúhelníku) viz příklad

Důkaz věty obrácené:

Poznámka:

Eukleidova věta o výšce je přisuzována Eukleidovi, který ji vyslovil jakožto důsledek tvrzení VI/8 svých Základů (viz též wikipedie). Zde se pojímá vztah  jako geometrický průměr dvou čísel - . Přeměna mnohoúhelníku na čverec se ale objevuje už ve II/14. Viz příklad "Přeměna obdélníku na čtverec, konstrukce odmocniny, geometrický průměr"