Eukleidova věta o výšce a věta k ní obrácená
Hypotéza:
Eukleidova věta o výšce (formulace 1):
V každém pravoúhlém trojúhelníku je obsah čtverce sestrojeného nad výškou k přeponě roven obsahu obdélníka, jehož strany tvoří úseky přepony rozdělené touto výškou. ()
Je dobré si uvědomit, že věta má formu IMPLIKACE (stejně jako věta Pythagorova):
Eukleidova věta o výšce (formulace 2):
Je-li daný trojúhelník pravoúhlý, potom je obsah čtverce sestrojeného nad výškou k přeponě roven obsahu obdélníka, jehož strany tvoří úseky přepony rozdělené touto výškou. ()
Důkaz 1 (Eukleidův důkaz pomocí podobnosti trojúhelníků):
Důkaz provedeme ve dvou krocích:
- Dokážeme větu, že výška na přeponu rozdělí pravoúhlý trojúhelník na dva trojúhelníky jemu podobné. Tato věta je v Eukleidových Základech větou VI.8
- Z této věty nyní snadno vyvodíme požadovaný vztah . Viz důsledek věty VI.8 v Základech
- Krok 1 (Základy VI/8):
- Krok 2 (Základy - důsledek věty VI/8):
Důkaz 2 (pomocí přeskupení ploch):
Důkaz 3 (pomocí shodnosti trojúhelníků):
Věta obrácená k Eukleidově větě o výšce (kritérium pravoúhlosti trojúhelníku):
Stejně jako pro Pythagorovu větu i zde existuje věta obrácená:
Pokud v daném trojúhelníku platí, že obsah čtverce sestrojeného nad výškou je roven obsahu obdélníka, jehož strany tvoří úseky strany rozdělené touto výškou (), potom je tento trojúhelník pravoúhlý s pravým úhlem proti této straně.
Tato obrácená věta se používá, pokud potřebujeme dokázat, že daný trojúhelník je pravoúhlý (jako kritérium pravoúhlosti trojúhelníku) viz příklad
Důkaz věty obrácené:
Poznámka:
Eukleidova věta o výšce je přisuzována Eukleidovi, který ji vyslovil jakožto důsledek tvrzení VI/8 svých Základů (viz též wikipedie). Zde se pojímá vztah jako geometrický průměr dvou čísel - . Přeměna mnohoúhelníku na čverec se ale objevuje už ve II/14.
Viz příklad "Přeměna obdélníku na čtverec, konstrukce odmocniny, geometrický průměr"