Reflexionen über ...

... Brennpunkte, Leitkreise, Wellen und Kreisscharen

(14.06.2018) Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks Kegelschnitt-Werkzeuge

Was wollen die vorangegangenen Bilder anzeigen? Es geht um einen Zusammenhang zwischen Kreisbewegungen, Brennpunkten und Leitkreisen, der sich nicht nur bei den Kegelschnitten finden läßt. Wir versuchen im Folgenden diese Zusammenhänge zu erhellen, ohne auf die Beweise einzugehen. Diese folgen an anderer Stelle. Allen Bildern liegen "quadratische Vektorfelder" in der komplexen Gaussschen Zahlenebene, bzw. auf der Riemannschen Zahlenkugel zugrunde:
Die Nullstellen dieser elliptischen Differentialgleichung nennen wir "Brennpunkte". Die Möglichkeit zusammenfallender Brennpunkte wird mit untersucht. Je nach Anzahl der verschiedenen Brennpunkte kann man ein solches "quadratische Vektorfeld" auf verschiedene Weisen als Produkt zweier "linearen Vektorfelder" darstellen. Sind die beiden Brennpunkte F1, F2 eines linearen Vektorfeldes verschieden (siehe das Applet unten), so sind die Lösungskurven je nach der Skalierung die Kreise des hyperbolischen Kreisbüschels durch die Grundpunkte F1,F2 bzw. die Kreise des orthogonalen elliptischen Kreisbüschels oder die Loxodrome, welche die Kreisbüschel unter einem konstanten Winkel schneiden. Der im Applet angezeigte Richtungsvektor im beweglichen Punkt ist konkret berechnet und zeigt in die Richtung der hyperbolischen Kreise, normiert auf Einheitslänge. Fallen die beiden Brennpunkte zusammen, so erhält man Kreise, die sich im Brennpunkt berühren, das ergibt parabolische Kreisbüschel. Man kann das lineare Vektorfeld auch als Wellenbewegung deuten: die Kreise des elliptischen Kreisbüschels bewegen sich in Richtung der hyperbolischen Kreise von der "Quelle" F2 zur "Senke " F1.
Wir untersuchen ein quadratisches Vektorfeld als Produkt zweier (verschiedener) linearer Vektorfelder, speziell als "Produkt" zweier Kreisbüschel: durch jeden Punkt der Ebene, von den Brennpunkten abgesehen, geht aus jedem Büschel genau ein Kreis.
  • Die Lösungskurven des quadratischen Vektorfeldes sind bei geeigneter Skalierung die Winkelhalbierenden der Kreise der beiden Kreisbüschel.
Betrachtet man eine Lösungskurve als Spiegel, so werden die Kreise des einen Büschels an diesem Spiegel reflektiert und gehen in die Kreise des anderen Büschels über. Über die Lösungskurven elliptischer Differentialgleichungen ist uns im allgemeinen Fall nichts bekannt. Eine elliptische Differentialgleichung ist durch die Lage der Brennpunkte bestimmt. Für 4 Punkte ist das Doppelverhältnis eine von der Reihenfolge abhängige Invariante. Vollständig bestimmt ist ein quadratisches Vektorfeld durch ihre absolute Invariante . Ist die absolute Invariante reell, so sind bei geeigneter Skalierung die Lösungskurven konfokale bizirkulare Quartiken. Fallen Brennpunkte zusammen, so ist . Hier eine kurze Klassifizierung der möglichen Fälle:
  • : Die 4 verschiedenen Brennpunkte liegen auf einem Kreis. Lösungskurven sind konfokale zweiteilige Quartiken. Reflexion 2 und Reflexion 6.
  • : Von den 4 verschiedenen Brennpunkten liegen 2 Paare spiegelbildlich auf zwei orthogonalen Kreisen. Lösungskurven sind einteilige konfokale Quariken. Reflexion 3. Sonderfall: : Tetraederfall. Lösungskurven bilden ein Netz von konfokalen 1-teiligen Quartiken, die sich unter Vielfachen von 30° schneiden.
  • und 4 verschiedene Brennpunkte: diese besitzen harmonische Lage. Lösungskurven sind konfokale 2-teilige Quartiken und im 45° Winkel dazu konfokale 1-teilige Quartiken.
  • und zwei einfache und ein doppelt-zählender Brennpunkt. Wählt man letzteren als , so erhält man konfokale Ellipsen und Hyperbeln als Lösung. Reflexion 1 (Ellipse) und Reflexion 5 (Hyperbel)
  • und ein einfacher und ein dreifach-zählender Brennpunkt. Wählt man letzteren als , so erhält man konfokale Parabeln als Lösung. Reflexion 4 (Parabel).
  • , 2 doppelt zählende Brennpunkte oder ein 4-fach zählender Brennpunkt: das quadratische Vektorfeld ist das Quadrat eines linearen Vektorfeldes. Lösungskurven sind die Kreise eines Kreisbüschels. Lösungsquartiken können auch das Produkt aus 2 verschiedenen Kreisen des Büschels sein.
Nun zu den einzelnen bizirkularen Quartiken. Jede solche Quartik besitzt 4 möglicherweise auch zusammenfallende Brennpunkte und gehört daher zu einer konfokalen Schar von Quartiken und somit zu einem quadratischen Vektorfeld. Betrachtet man das quadratische Vektorfeld als Produkt zweier linearer Vektorfelder aus 2 Paaren der Brennpunkte, so ist die Quartik Winkelhalbierende der sich auf ihr schneidenden Kreise aus den beiden zugehörenden Kreisbüscheln. Zu jeder solchen Paarung der Brennpunkte gehört eine Kreissymmetrie des quadratischen Vektorfeldes und der Büschelkreise. Wegen der Symmetrie gibt es dazu die Quartik doppelt-berührende Kreise. Diese sind ebenfalls Winkelhalbierende der sich schneidenden Büschelkreise. Zeichnet man einen der Brennpunkte aus, zB. f1 mit zugehörigem 2. Brennpunkt f1' , so stellt man fest: die Spiegelbilder dieses Brennpunktes bezüglich der doppelt-berührenden Kreise liegen auf einem Kreis: dem zugehörigen Leitkreis. Dieser Kreis gehört dem Büschel der anderen Brennpunkte f2 und f2' an. In den meisten Fällen kann man die Kreise der hyperbolischen Büschel als "Brennlinien" bezeichnen, die dazu orthogonalen Kreise können als sich ausbreitende Wellen aufgefasst werden. Ausnahme: Im Falle , also für 1-teilige Quartiken, sind die aufeinander bezogenen Kreisbüschel von verschiedenem Typ. Beobachtet man die sich ausbreitenden Wellen, so stellt man fest:
  • die Wellen werden an den Quartiken als Spiegel reflektiert und bewegen sich als Wellen des anderen Büschels weiter
  • der Welle, die in der Senke verschwindet, entspricht im anderen Kreisbüschel der Leitkreis des Brennpunkt
Etwas salopp formuliert: Den Brennpunkten entsprechen, an der Quartik reflektiert, ihre Leitkreise. Für 2-teilige Quartiken gibt es 3 Möglichkeiten, die Brennpunkte paarweise zu Brennkreisbüscheln zu verbinden. Für 1-teilige gibt es nur eine Möglichkeit, ausgenommen ist der Tetraederfall: hier ist jede Kombination möglich. Für Kegelschnitte mit 2 Brennpunkten gibt es 2 Möglichkeiten, meist wird hier zwischen Leitkreis und Leitgerade unterschieden. Im Parabelfall gibt es nur eine Kombination. Was hat diese Kurzübersicht mit dem Thema Kegelschnitt-Werkzeuge zu tun? 1. Bizirkulare Quartiken entstehen als Schnitt der Riemannschen Zahlenkugel mit einer 2-ten Quadrik. In dem Büschel aus Zahlenkugel und dieser 2. Quadrik liegen bis zu 4 Kegel, mindestens jedoch einer. Polar zu den Kegelspitzen liegen Ebenen, die die Zahlenkugel jeweils in einem Symmetriekreis der Quartik schneiden. Dieser Symmetriekreis kann imaginär sein. In jedem Fall liegt in dieser Symmetrieebene neben der absoluten ebenen Quadrik ein 2. Kegelschnitt, der in der Projektion die Eigenschaften der bizirkularen Quartik wiederspiegelt. Zu klären sind die Eigenschaften zweier Kegelschnitte in einer (projektiven) Ebene. 2. Zu einer 2. Quadrik im Raum neben der Riemannschen Zahlenkugel gehört eine ganz Schar von Quadriken, welche die Zahlenkugel in konfokalen bizirkularen Quartiken schneiden. In den gemeinsamen, übrigens orthogonalen Symmetrieebenen sind daher Scharen konfokaler Kegelschnitte zu untersuchen. Hierbei meint konfokal die Brennpunkte, die durch die Möbiusquadrik definiert werden. In jedem Fall lohnt es sich, für die Untersuchung von Kegelschnitten mit den nötigen Werkzeugen ausgestattet zu sein!

(14.06.2018) Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks Kegelschnitt-Werkzeuge

In dem Quadrik-Büschel liegen 4 Kegel: das ist projektiv zu sehen. In der euklidischen 3D-Darstellung erahnt man 3 Zylinder und einen Kegel, dessen Spitze im Kugelmittelpunkt liegt. Die 4 projektiven Kegelspitzen sind für alle Quartiken der Schar identisch. Sie sind die Pole der 4 paarweise orthogonalen Symmetriekreise.