Triangles semblables : exercice 37 p 303 (Sesamath Cycle 4)
Démonstration 1 : en utilisant des homothéties et les longueurs proportionnelles
On appelle l'homothétie de centre A et de rapport 1/2.
Comme C' est le milieu du segment [AB], l'image du point B par l'homothétie est le point C'.
Comme B' est le milieu du segment [AC], l'image du point C par l'homothétie est le point B'.
On en déduit que l'image du segment [BC] par l'homothétie est le segment [B'C'] et B'C' = BC/2.
On appelle l'homothétie de centre B et de rapport 1/2.
Comme A' est le milieu du segment [BC], l'image du point C par l'homothétie est le point A'.
Comme C' est le milieu du segment [AB], l'image du point A par l'homothétie est le point C'.
On en déduit que l'image du segment [AC] par l'homothétie est le segment [A'C'] et A'C' = AC/2.
On appelle l'homothétie de centre C et de rapport 1/2.
Comme A' est le milieu du segment [BC], l'image du point B par l'homothétie est le point A'.
Comme B' est le milieu du segment [AC], l'image du point A par l'homothétie est le point B'.
On en déduit que l'image du segment [AB] par l'homothétie est le segment [A'B'] et A'B' = AB/2.
On a donc A'B' = AB/2, A'C' = AC/2 et B'C' = BC/2 : les longueurs des côtés des triangles ABC et A'B'C' sont proportionnelles (le rapport de réduction étant 1/2), donc les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.
Démonstration 2 : en utilisant le théorème de la droite des milieux et les angles
Théorème de la droite des milieux :
Dans un triangle la droite qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté.
On applique ce théorème 3 fois :
- A' est le milieu de [BC] et B' est le milieu de [AC], donc (A'B') est parallèle à (AB).
- A' est le milieu de [BC] et C' est le milieu de [AB], donc (A'C') est parallèle à (AC).
- B' est le milieu de [AC] et C' est le milieu de [AB], donc (B'C') est parallèle à (BC).