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Triangles semblables : exercice 37 p 303 (Sesamath Cycle 4)

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Démonstration 1 : en utilisant des homothéties et les longueurs proportionnelles

On appelle l'homothétie de centre A et de rapport 1/2. Comme C' est le milieu du segment [AB], l'image du point B par l'homothétie est le point C'. Comme B' est le milieu du segment [AC], l'image du point C par l'homothétie est le point B'. On en déduit que l'image du segment [BC] par l'homothétie est le segment [B'C'] et B'C' = BC/2. On appelle l'homothétie de centre B et de rapport 1/2. Comme A' est le milieu du segment [BC], l'image du point C par l'homothétie est le point A'. Comme C' est le milieu du segment [AB], l'image du point A par l'homothétie est le point C'. On en déduit que l'image du segment [AC] par l'homothétie est le segment [A'C'] et A'C' = AC/2. On appelle l'homothétie de centre C et de rapport 1/2. Comme A' est le milieu du segment [BC], l'image du point B par l'homothétie est le point A'. Comme B' est le milieu du segment [AC], l'image du point A par l'homothétie est le point B'. On en déduit que l'image du segment [AB] par l'homothétie est le segment [A'B'] et A'B' = AB/2. On a donc A'B' = AB/2, A'C' = AC/2 et B'C' = BC/2 : les longueurs des côtés des triangles ABC et A'B'C' sont proportionnelles (le rapport de réduction étant 1/2), donc les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.

Démonstration 2 : en utilisant le théorème de la droite des milieux et les angles

Théorème de la droite des milieux : Dans un triangle la droite qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté. On applique ce théorème 3 fois :
  • A' est le milieu de [BC] et B' est le milieu de [AC], donc (A'B') est parallèle à (AB).
  • A' est le milieu de [BC] et C' est le milieu de [AB], donc (A'C') est parallèle à (AC).
  • B' est le milieu de [AC] et C' est le milieu de [AB], donc (B'C') est parallèle à (BC).
Les angles correspondants et déterminés par les droites parallèles (C'B') et (BC) et la sécante (AC) sont de même mesure. Les angles alternes-internes et déterminés par les droites parallèles (B'A') et (AB) et la sécante (B'A') sont de même mesure. On a donc . Les angles correspondants et déterminés par les droites parallèles (BC) et (C'B') et la sécante (AB) sont de même mesure. Les angles alternes-internes et déterminés par les droites parallèles (C'B') et (BC) et la sécante (B'C') sont de même mesure. On a donc : Les triangles ABC et A'B'C' ayant deux angles deux à deux de même mesure ( et ) sont donc semblables.