Attività 1: posizione retta e circonferenza

Argomento:
Circonferenza

Prepariamo il foglio di Geogebra

Dopo aver eliminato gli assi cartesiani [tasto destro mouse su finestra grafica: Assi] e attivato la griglia [tasto destro mouse su finestra grafica: Griglia] iniziamo. [Puoi utilizzare il foglio qui sotto oppure aprire un foglio tramite la tua app o il software che hai scaricato]
  1. Tracciamo una circonferenza sul piano: disegniamo un punto sul piano che sarà il nostro centro Toolbar Image e rinominiamolo con O (tasto destro sul punto: Rinomina]. Tracciamo una circonferenza di centro O e per un punto a piacere Toolbar Image; rinominiamo tale punto con C.
  2. Disegniamo due punti esterni alla circonferenza Toolbar Image che rinomineremo con P e Q. Tracciamo la retta per P e Q Toolbar Image
  3. Muoviamo Toolbar Image il punto Q in modo che la retta incontri la circonferenza in due punti. Individuiamo tali punti di intersezione con il comando intersezione Toolbar Image. Rinominiamo tali punti con A e B.
  4. Muoviamo il punto Q Toolbar Image e osserviamo il comportamento dei punti A e B.

Riassumiamo le osservazioni svolte

Una retta è esterna quando

Una retta è tangente quando

Una retta è secante quando

Ancora sulla retta e la circonferenza

Proviamo adesso a caratterizzare in altro modo il fatto che la retta è esterna, tangente o secante. Utilizzeremo il foglio creato precedentemente.
  1. Sempre utilizzando il foglio costruito sopra, misuriamo il raggio della nostra circonferenza. Utilizziamo il comando Toolbar Imagedistanza [che troviamo nel menù degli angoli]: scegliamo il punto O e il punto C.
  2. Ora misuriamo la distanza della retta dal centro O della circonferenza. Utilizziamo lo stesso comando Toolbar Image scegliendo il centro O e la retta r.
  3. Muoviamo Toolbar Imagela retta spostando Q. Cosa possiamo osservare riguardo alla distanza della retta da O rispetto al raggio?

 Teorema Se la retta r è esterna alla circonferenza allora la distanza della retta dal centro O della circonferenza è

Seleziona una o più risposte corrette
  • A
  • B
  • C

 Teorema Se la retta r è tangente alla circonferenza allora la distanza della retta dal centro O della circonferenza è

Seleziona una o più risposte corrette
  • A
  • B
  • C

 Teorema Se la retta r è tangente alla circonferenza allora la distanza della retta dal centro O della circonferenza è

Seleziona una o più risposte corrette
  • A
  • B
  • C

 Teorema Se la retta r è tangente alla circonferenza allora la distanza della retta dal centro O della circonferenza è

Seleziona una o più risposte corrette
  • A
  • B
  • C

 Teorema Se la retta r è secante alla circonferenza allora la distanza della retta dal centro O della circonferenza è

Seleziona una o più risposte corrette
  • A
  • B
  • C

Il viceversa

Dunque abbiamo visto che se la retta è tangente/secante/esterna allora la sua distanza dal centro O è del raggio della circonferenza. Vediamo ora il viceversa: se la distanza della retta da O è allora .................
Ripartiamo dal nostro foglio:
Ricordiamo cosa è la distanza di una retta da un punto: è il segmento perpendicolare alla retta che ha per estremi il punto e un punto della retta.
  1. Costruiamo questo segmento con Geogebra:
                a) tracciamo la retta passante per O e perpendicolare alla retta PQ Toolbar Image                b) individuiamo il punto di intersezione tra le due rette e Toolbar Imagerinominiamolo con H                 c) tracciamo il segmento di estremi O e H Toolbar Image e nascondiamo la retta perpendicolare disegnata al punto (a) [tasto destro sulla retta: mostra oggetto] d) misuriamo OH Toolbar Image 2. Scegliamo un punto sulla retta a piacere [punto su oggetto] Toolbar Image (diverso da P, Q, H) e rinominiamolo con E. 3. Muoviamo Toolbar Image la retta r (spostando Q o P) in modo che OH >r (OC); osserviamo:

OE è

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  • A
  • B
  • C

perché:

Muovendo E sulla retta Toolbar Image si osserva che OE è sempre maggiore di OH (eccetto per E=H) poiché

Poiché abbiamo scelto OH>r possiamo concludere che OE è

Seleziona una o più risposte corrette
  • A
  • B
  • C
Possiamo concludere che Se la distanza della retta r dal centro O della circonferenza (OH) è maggiore del raggio della circonferenza allora
  1. tutti i punti della retta avranno distanza da O maggiore del raggio
  2. non esistono punti in comune tra la retta e la circonferenza
  3. la retta è esterna alla circonferenza
In simboli
Toolbar Image Muoviamo adesso la retta in modo che OH=raggio Ripetiamo quanto fatto sopra e proviamo a trarre le nostre conclusioni Se la distanza della retta dal centro O (OH) è uguale al raggio della circonferenza allora:

1) Tutti i punti della retta, eccetto H, hanno distanza dal centro O

Seleziona una o più risposte corrette
  • A
  • B
  • C

poiché OE risulta essere

2) Il punto H della retta risulta avere distanza da O

Seleziona una o più risposte corrette
  • A
  • B
  • C
Dunque H è l'unico punto in comune tra la retta e la circonferenza.

3) Se OH= raggio allora la retta è

Seleziona una o più risposte corrette
  • A
  • B
  • C
H lo diremo punto di tangenza. Corollario Se una retta è tangente ad una circonferenza, allora è perpendicolare al raggio nel punto di contatto.
Per concludere
  • ripetere quanto fatto sopra nel caso in cui OH<raggio cosa possiamo concludere?
Ricerca nel capitolo i risultati trovati e schematizza. Svolgi l'esercizio proposto: disegnare una circonferenza, scegli un punto sulla circonferenza e sfruttando il corollario disegna la retta tangente alla circonferenza e passante per il punto. [suggerimento: utilizzare  Toolbar Imageretta perpendicolare]