Kugel-Gärten 2
- Autor:
- Walter Füchte
- Thema:
- Kugel
Sorry, lange Wartezeiten! Grund sind komplizierte Konstruktionen!
In Kugel-Gärten 1 ergab die Leitkreis-Konstruktion 2 Lösungs-"Ellipsen". Dies soll in diesem Applet genauer dargestellt werden.
Leitkreiskonstruktion:
Gegeben sind 2 Brennpunkte F1 und F2 und deren Antipoden F'1 und F'2 auf der Kugel. Als Leitkreis für die Konstruktion ist jeder Kreis um F2 (und F'2) geeignet. Man verbinde einen PUNKT P auf dem Leitkreis mit F1. Zu diesen PUNKTEN gibt es zwei MITTELSENKRECHTE, also Großkreise, die die Verbindung PF1 halbieren. Die BrennGERADE, das ist der Großkreis durch P und F2 schneidet die beiden MITTELSENKRECHTEN jeweils in 2 Antipoden-Punktepaaren, also in 2 PUNKTEN. Als Ortskurven entstehen 2 zweiteilige Ovale: also elliptisch 2 ELLIPSEN. Die MITTELSENKRECHTEN sind jeweils TANGENTE an eine der ELLIPSEN.
Diese beiden ELLIPSEN fallen zusammen, wenn der LEITKREIS zur LEITGERADE wird. Dies ist der Fall, wenn die LEITKREISebene durch den Kugelmittelpunkt geht.
STEVE PHELPS nennt die Konstruktion Parabel-Konstruktion auf der Sphäre, im Gegensatz zur Ellipsen-Konstruktion. Im Vergleich mit Ellipsen und Parabeln in der Ebene ist auf der Kugel vergleichbar, dass aus dem LEITKREIS eine LEITGERADE wird. Nicht vergleichbar ist, dass die Parabeln in der Ebene nur einen Bennpunkt besitzen, während zur entstehenden Kurve auf der Kugel elliptisch gesehen 2 BRENNPUNKTE, möbiusgeometrisch gesehen 4 Brennpunkte gehören. Möbiusgeometrisch besitzt die ebene Parabel als einen 3-fach zählenden Brennpunkt.
Die Leitgerade einer ebenen Parabel ist orthoptische Kurve, d.h. die Tangenten, die von den Punkten der Leitgerade an die Parabel gelegt werden können, sind orthogonal (siehe das nächste Arbeitsblatt).
Die "Parabeln" auf der Kugel, also die Ovale, deren LEITKREIS ein Großkreis ist, besitzen die oben angezeigten MITTELSENKRECHTEN als orthogonale TANGENTEN. Die Schnittpunkte der MITTELSENKRECHTEN liegen meist nicht auf der LEITGERADEN: die orthoptische Kurve entsteht aus der LEITGERADEN durch Spiegelung an der Ebene x = 0.
Wenn der Leitkreis ein Großkreis, d.h. eine LEITGERADE ist, so sind die Scheitel der entstehenden "Parabel", das sind die Schnittpunkte der Kurve mit dem Kreis, auf welchem die Brennpunkte liegen, die Eckpunkte eines der Kugel einbeschriebenen Quadrats.
Korrigiert 07.06.2018.
Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks Kegelschnitt-Werkzeuge