Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Classroom

Pythagorova věta - důkazy

Eukleides

Eukleides, Základy, kniha I, věta 47, přeložil Fr. Servít 1907 V pravoúhlých trojúhelnících je čtverec nad přeponou roven součtu čtverců nad odvěsnami.
  • Čtverec FBAG nad odvěsnou má dvakrát větší obsah než trojúhelník FBC, jelikož mají společnou strana FB a shodnou výšku.
  • Trojúhelníky ABD a FBC jsou shodné dle věty sus.
  • Obdélník BDLJ nad odvěsnou má dvakrát větší obsah než trojúhelník BDA, jelikož mají společnou strana BD a shodnou výšku.
  • Dokázali jsme, že čtverec FBAG má stejný obsah jako obdélník BDLJ (Eukleidova věta o odvěsně).
  • Dle stejného postupu je i obsah čtverce ACKL stejný jako obsah obdélníku LECJ.
  • Celý čtverec BDEC rovná se součtu čtverců FBAG a ACKL.

Důkaz 2 - tangram

Důkaz 3 - indický matematik Bhaskara II, 12. st. n. l.

Nejprve sestrojíme čtverec se stranou c, potom sestrojíme libovolný vrchol pravoúhlého trojúhelníka s přeponou c a vytvoříme jeho tři kopie nad zbývajícími stranami. Pokud náš trojúhelník nebyl rovnoramenný, vznikne uvnitř čtverce malý čtverec se stranou a-b. Dopočítáním úhlů v trojúhelnících dokážeme, že jsou jeho úhly pravé. Odtud přerovnáním, nebo pomocí algebraického zápisu plyne:

Důkaz pro rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník

Pythagorejský tangram můžete použít k důkazu Pythagorovy věty pro rovnoramenný trojúhelník a ke spoustě dalších rébusů podporujících porozumění obsahům rovinných útvarů. Inspirující je pro žáky vytvořit učební pomůcky ve formě skládaček a vytisknout je na 3D tiskárně. K tomu můžete použít přímo GeoGebru, SketchUp, či TinkerCAD.
Více informací o důkazech Pythathagorovy věty: R. Hašek: Perigalův důkaz Pythagorovy věty, online materiál na serveru Geogebra František Kuřina: Matematika a řešení úloh, České Budějovice, 2011 Martin Vinkler: M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty, GeoGebraBook Michal Čučka: Pythagorova věta a její důkazy, diplomová práce, Brno 2007, s. 26-30 Cut the Knot: Pythagorean Theorem Pink Cree, Š. Voráčová: Pythagorean tangram, online materiál na serveru Geogebra Pauline K: Pythagoras: Based on Bhaskara's Proof, online GeoGebra materiál realisticky.cz: "Důkazy Pythagorovy věty" studijní materiál pro základní školu, záložka Učebnice, Matematika ZŠ, 7. ročník