Cartesisches Oval mit endlichem Kreis-6-Ecknetz
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.
Ein Cartesisches Oval mit 4 verschiedenen Brennpunkten besitzt 4 paarweise orthogonale Symmetriekreise
und zu jeder Symmetrie eine Schar doppelt-berührender Kreise.
Durch jeden Punkt zwischen den Ovalen gehen 6 dieser doppelt-berührenden Kreise.
Aus je drei Scharen von benachbarten Kreisen kann man Sechseck-Netze aus Kreisen erzeugen; vorausgesetzt,
die 3 Scharen gehören zu verschiedenen Symmetrieen.
Das Applet zeigt ein endliches Sechseck-Netz.
Einer der Symmetriekreise ist imaginär. Der 4. Brennpunkt ist .
Damit das 6-Ecknetz erkennbar ist, wird von den jeweils 12 Kreisen der drei Kreisscharen entweder
nur eine Auswahl der Kreise, oder nur Teile der Kreise angezeigt (Halbkreisbögen).
Die Kreise einer Schar überdecken das Gebiet zwischen den beiden Ovalen zweifach!
Konstruiert wurde das 6-Ecknetz mit Hilfe der 3 konzentrischen Leitkreise des Brennpunkts .
Das wird ermöglicht durch folgende Grundeigenschaft bizirkularer Quartiken, zu denen auch die Kegelschnitte gehören:
- Spiegelt man einen der Brennpunkte an den doppelt-berührenden Kreisen,
so liegen die Spiegelbilder auf 4 zur jeweiligen Symmetrie gehörenden Kreisen: den Leitkreisen.
Im Applet ist die -Achse Symmetriekreis und Leitkreis zugleich,
die zugehörigen doppelt-berührenden Kreise können jedoch nicht zum 6-Ecknetz beitragen.
Geometrische Bedeutung der Brennpunkte und der Brennkreise:
Die 4 Brennpunkte können auf drei verschiedene Weisen zwei verschiedene Kreisbüschel erzeugen.
Die Kreise dieser Kreisbüschel nennen wir "Brennkreise".
Betrachtet man die Kreise zweier möglichen Brennkreisebüschel: durch jeden Punkt des Ovals gehen
je ein Brennkreis aus den beiden Kreisbüscheln. Das Cartesisches Oval ist Winkelhalbierende all dieser Kreise!
Da ein Brennpunkt ist, ist einer der Brennkreise eine Gerade.
Zu den 4 konzyklischen Brennpunkten gehört eine konfokale Schar von bizirkularen Quartiken.
Diese Kurven sind die Lösungskurven einer elliptischen Differentialgleichung
mit reellen Brennpunkten .
Da einer der Brennpunkte in liegt, ist die Lösung eine Weierstrass'sche -Funktion
mit und reellen Brennpunkten .
Ein Bild von einem solchen endlichen 6-Ecknetz aus Kreisen, die ein Cartesisches Oval einhüllen, ist uns nur
aus dem Artikel von Walter Wunderlich (1938) bekannt:
Walter Wunderlich "Über ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen" Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien 147:385-399, 1938.
Dieses Arbeitsblatt ist auch Teil des Ge
gebra-books Sechseck-Netze.
Man kann das Netz in Bewegung versetzen. Dabei bewegt sich einer der erzeugenden Punkte auf einem der Leitkreise.
Durch die Bewegung kommen Kreise und Punkte der Überlagerung ins Blickfeld, und das Bild wird unübersichtlich.
Hinzu kommt, dass die Kreisbögen teilweise ihre Bezugspunkte oder ihre Orientierung verlieren: sie sind dann kein Teil der
doppelt berührenden Kreise mehr! Erstaunlich ist, dass sich das Bild nach einer Umdrehung wieder beruhigt.
Wenn nicht: der refresh-button schafft wieder Ordnung!