Equazioni e disequazioni goniometriche elementari
Un'equazione si dice goniometrica se l'incognita o le incognite che vi compaiono sono gli argomenti di funzioni goniometriche. Si tratta di funzioni in genere piuttosto complesse, e nella prossima animazione vediamo che già la scrittura completa delle soluzioni per le equazioni elementari, in cui sono necessari veramente pochi passaggi, è molto più articolata di quella di un'equazione di qualsiasi altro tipo visto finora.
EQUAZIONI LE CUI SOLUZIONI NON SONO ANGOLI NOTEVOLI: LE FUNZIONI INVERSE
La strategia mostrata nell'animazione precedente funziona finché gli angoli che stiamo cercando sono degli angoli noti, di cui conosciamo seno e coseno, oppure loro associati. In generale, ovviamente, l'angolo che stiamo cercando potrebbe assumere un valore qualsiasi. Come possiamo rispondere, ad esempio, alla richiesta di trovare un angolo che abbia seno pari a ?
La risposta viene mostrata nell'animazione qui sotto, ma prima è necessario premettere alcune informazioni:
- Abbiamo bisogno della funzioni goniometriche inverse, cioè non quelle che dato un angolo ci forniscono il suo seno o coseno, ma viceversa quelle che dato il valore del seno (o di un coseno) ci restituiscono l'angolo che ha quel seno (o coseno).
- I nomi di queste funzioni si ottengono premettendo il prefisso "arco-", che si riferisce all'arco di circonferenza sotteso ad un angolo e quindi all'angolo stesso. La funzione "arcoseno" quindi restituisce, dato un valore per il seno, l'angolo (l'arco) che ha quel seno. Quindi perché l'angolo che ha seno è ; perché l'angolo che ha coseno è , e così via. Ovviamente questi esempi servono solo per capire ma non sono le applicazioni più utili: è molto più interessante scoprire ad esempio, dato il problema che ci siamo posti sopra, quanto vale .
- Per utilizzare queste funzioni dobbiamo utilizzare la calcolatrice. Le funzioni inverse sono disponibili solitamente come "seconda opzione", cioè premendo un tasto shift, 2nd o simile, che permette di accedere a funzionalità aggiuntive. Il fatto che queste funzioni siano inverse viene spesso indicato tramite una notazione pseudo-esponenziale del tipo per l'arcoseno, per l'arcocoseno e così via.
- Quindi tutto quello che abbiamo imparato finora era inutile e potevamo utilizzare la calcolatrice fin da subito? Decisamente no. C'è un problema: gli angoli che hanno seno (o o qualsiasi altro) sono infiniti, dato che le funzioni goniometriche sono periodiche (e quindi si ripetono) ed inoltre esistono gli archi associati. Quindi la calcolatrice ci restituisce UNO dei tanti angoli che hanno il valore goniometrico desiderato, ma tutti gli altri dobbiamo trovarceli noi. Ed a questo scopo sapersi muovere sul cerchio è essenziale (è essenziale anche per un sacco di altre cose, quindi non avete studiato per niente).
DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE
Il ragionamento per risolvere un'equazione goniometrica si basa sulla capacità di muoversi e ragionare sul cerchio goniometrico. Una volta raggiunto questo obiettivo si possono affrontare le disequazioni goniometriche, che ne sono il naturale sviluppo.
Vediamo un ultimo esempio di disequazione, che questa volta coinvolge la funzione tangente, in modo da ripassare anche la sua rappresentazione sul cerchio goniometrico (introdotta in questa pagina) e capire come si utilizza per risolvere equazioni e disequazioni.
NOTA: in futuro sarà molto comodo avere le soluzioni tutte nello stesso intervallo; in particolare ci concentreremo sul primo giro positivo del cerchio (o nel caso della tangente, nel primo mezzo giro).
Dovremo allora riscrivere le soluzioni trovate nell'animazione precedente partendo da 0° e procedendo in senso antiorario fermandoci a 180°. Prenderemo quindi il primo quarto di circonferenza colorato di blu e l'ultimo pezzetto colorato di rosso (tratto che inizia a 180°-33,69°=146,31° :
Come al solito il 180°+K180° non si prende perché è l'inizio del mezzo giro seguente, e quindi considero questo angolo già quando scelgo K=1.
Nell'animazione qui sotto si vede come partendo da e proseguendo in senso antiorario scegliamo (coloriamo in verde) solo gli angoli la cui tangente finisce sulla semiretta colorata di verde, cioè i valori maggiori di , mentre scartiamo (coloriamo in rosso) quelli che hanno tangente inferiore o uguale a questo valore.
ATTENZIONE: 90° viene sempre scartato, perchè la tangente di quell'angolo NON esiste (l'angolo ha coseno nullo e quindi la seconda legge della goniometria ci impedisce di calcolare la tangente, e la retta associata all'angolo NON intercetta il tangentometro)
Premendo sulle due frecce in circolo in alto a destra puoi ripetere il percorso ed evidenziare di nuovo gli angoli la cui tangente soddisfa la disequazione.
COMBINARE LE DISEQUAZIONI: UNIFORMARE INTERVALLO E PERIODICITÀ
Per le disequazioni più complesse, in cui si devono poter confrontare i risultati di due disequazioni parziali (tipicamente perché le si sta confrontando in uno studio del segno) è opportuno riportare tutte le soluzioni nello stesso intervallo di angoli - di solito si sceglie quello tra 0° e 360°.
Supponiamo ad esempio di dover risolvere la disequazione:
Si tratta di una disequazione fratta, di cui conosciamo la logica risolutiva.
1) Innanzitutto dobbiamo porre le condizioni di esistenza
Le seconde C.E. sono quelle per l'esistenza della tangente, ovvero che . Non risolviamo qui le C.E. perché non sono la cosa che ci interessa affrontare in questo momento.
2) dobbiamo poi studiare il segno di numeratore e denominatore
Vedi che la prima disequazione è l'esempio dell'ultima animazione proposta, mentre sviluppando i calcoli della seconda si ottiene il penultimo esempio proposto. Ricopiamo quindi qui i risultati ottenuti.
3) A questo punto dovremmo costruire un grafico e combinare i segni.
Si vede però dopo poco che non è impresa facile: la prima soluzione inizia con un valore negativo e si ferma a 90° (ma sappiamo che vi sono altri valori sul cerchio), mentre la seconda considera solo valori positivi (quindi non sappiamo come si comporta per angoli negativi) e per contro il suo segno varia sull'intero cerchio.
Per poter mettere le soluzioni su un unico grafico e combinarne i segni è necessario riportarle nello stesso intervallo, e con la stessa periodicità. In questo caso adattiamo la soluzione di A riportandola nell'intervallo [0°-360°]. Per farlo ci aiutiamo riproducendo il cerchio goniometrico che contiene le soluzioni di A.
La soluzione riportata nell'intervallo 0°-360° diventa quindi
Abbiamo trascurato la periodicità perché ci stiamo concentrando nell'intervallo 0°-360°. Ora possiamo riportare in un unico grafico il segno di A e quello di B, per ottenere il segno risultante della frazione, come mostrato nell'animazione qui sotto.
Ci accorgiamo che la soluzione rossa si è adattata non solo in termini dell'intervallo in cui era definita (originariamente la soluzione era presa tra -90° e +90°, e l'abbiamo spostata da 0° in avanti) ma anche in termini di periodicità (360° e non più 180°): dato che il comportamento di B ha bisogno di 360° per essere definito (è solo dopo un intero giro che vediamo l'intero alternarsi di segni e e che questo schema inizia a ripetersi uguale a se stesso), dovremo riportare anche i segni di A per 360°, anche se sappiamo che da un certo punto in poi è la ripetizione dello stesso schema: solo in questo modo potremo vedere tutte le diverse combinazioni di segni di A e di B.
In generale avremo che se la periodicità dei due contributi è diversa, dovremo considerare un intervallo pari al minimo comune multiplo delle due periodicità, cioè al primo intervallo che contiene un numero intero di cicli per entrambi i contributi. La periodicità della soluzione sarà pari a questo periodo comune.
Puoi trovare due esercizi svolti che chiariscono questo concetto al seguente indirizzo:
https://drive.google.com/open?id=0Bxf-VRarLuQqclVwVzRVeWxJalU