Hauteur de l'un, médiane de l'autre
Deux demi-carrés autour d'un triangle ABC
ABC est un triangle quelconque.
On construit extérieurement à ce triangle les triangles rectangles isocèles ACQ et ABR, rectangles en À les milieux des hypoténuses sont et .
On construit aussi le parallélogramme AQKR de centre J.
Montrer que la droite (AJ) est une hauteur du triangle ABC et que AK = BC.
Démonstration
Un triangle, deux demi-carrés autour du triangle : une configuration d'une grande richesse pouvant être traités aux trois niveaux du lycée.
La rotation de centre A et d'angle 90° transforme C en Q.
La translation de vecteur AR transforme Q en K.
La composée de ces deux transformations transforme C en K, A en R.
C'est une rotation d'angle 90° ; son centre est .
B a donc pour image A ; [BC] a pour image [AK] ; d'où BC = AK et (BC) est perpendiculaire à (AK).
Donc (AK) passe par le milieu du parallélogramme AQKR, c'est la médiane (AJ) de AQR, (AK) perpendiculaire à (BC) est aussi la hauteur de ABC.
Deux carrés autour d'un triangle - hauteurs - médianes
Médiane de l'un, hauteur de l'autre
Descartes et les Mathématiques - Deux demi-carrés autour de BOA