Teorema de Rolle
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo abierto ]a,b[ y con f(a) = f(b). Entonces, existe al menos un punto c del intervalo ]a,b[ que anula a la derivada de f, es decir,
f ' (c) = 0
Interpretación geométrica:
La derivada de una función se anula en los extremos locales (máximos y mínimos). La derivada es la pendiente de la recta tangente, siendo 0 en los extremos.
Problema 1
Hallar b para que la función g cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, b]:
Calcular el número c del teorema.
Solución:
La continuidad y la derivabilidad no son un problema puesto que la función es polinómica.
La otra condición es que g(0)=g(b). Como g(0)=5, tenemos que buscar un b>0 tal que g(b)=5. Resolvemos la ecuación g(0) = g(b):
Por tanto, el b que buscamos es b =4 y el intervalo que tenemos es [0,4].
Para obtener c, calculamos la derivada, igualamos a 0 y resolvemos la ecuación:
El punto c del teorema es c=2.
La gráfica de la función es
Más información: Demostración del teorema de Rolle y problemas resueltos
La derivada de una función se anula en los extremos locales (máximos y mínimos). La derivada es la pendiente de la recta tangente, siendo 0 en los extremos.
Problema 1
Hallar b para que la función g cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, b]:
Calcular el número c del teorema.
Solución:
La continuidad y la derivabilidad no son un problema puesto que la función es polinómica.
La otra condición es que g(0)=g(b). Como g(0)=5, tenemos que buscar un b>0 tal que g(b)=5. Resolvemos la ecuación g(0) = g(b):
Por tanto, el b que buscamos es b =4 y el intervalo que tenemos es [0,4].
Para obtener c, calculamos la derivada, igualamos a 0 y resolvemos la ecuación:
El punto c del teorema es c=2.
La gráfica de la función es
Más información: Demostración del teorema de Rolle y problemas resueltos