Il cerchio goniometrico
Quando abbiamo conosciuto la definizione delle grandezze goniometriche abbiamo sottolineato il fatto che esse sono definite su un QUALSIASI triangolo rettangolo costruito sui lati dell'angolo: poiché i triangoli ottenuti in questo modo sono tutti simili (=hanno gli angoli uguali), i loro lati sono proporzionali e quindi il rapporto tra lati corrispondenti (p.e. cateto adiacente all'angolo diviso l'ipotenusa) dà sempre lo stesso risultato. Proprio per questo motivo possiamo considerare questo valore una caratteristica dell'angolo: una volta fissata l'ampiezza dell'angolo non dipende dal triangolo su cui la misuriamo.
C'è un problema che finora non abbiamo ancora affrontato: gli unici angoli su cui si può costruire un triangolo rettangolo sono quelli acuti: come possiamo definire ed utilizzare le grandezze goniometriche per gli angoli ottusi?
Vediamo che lo strumento che presentiamo in questo capitolo risolverà anche questo problema. Per introdurlo, tuttavia, partiamo da una considerazione ancora più semplice.
Poiché possiamo scegliere un triangolo qualsiasi, una scelta particolarmente interessante è quella di prendere un triangolo con ipotenusa di misura : in questo modo avremo che
ed allo stesso modo:
Nell'animazione seguente ripetiamo brevemente il percorso che ci ha portato alla definizione delle grandezze goniometriche ed introduciamo questa situazione particolarmente comoda per misurarle e visualizzarle.
In questa prima introduzione abbiamo visto che esiste un triangolo rettangolo di riferimento "speciale", quello la cui ipotenusa misura 1 unità, perché ci permette di esprimere le grandezze goniometriche in modo più semplice e di visualizzarle in modo più immediato come misura di segmenti (per il momento ci occuperemo di seno e coseno, ci occuperemo della tangente poco più avanti).
Questo triangolo "speciale" introduce uno strumento particolarmente utile, il cerchio goniometrico. Nella prossima animazione approfondiamo questi concetti e definiamo i dettagli e le proprietà del cerchio goniometrico.
Abbiamo visto che se riportiamo un angolo all'interno del cerchio goniometrico possiamo dare delle nuove definizioni di seno e coseno che li rendono particolarmente visibili ed intuitivi:
- la coordinata del punto in cui il raggio che descrive l'angolo incontra il cerchio goniometrico, cioè quanto l'angolo "si alza o si abbassa".
- la coordinata del punto in cui il raggio che descrive l'angolo incontra il cerchio goniometrico, cioè quanto l'angolo "si sposta in avanti o indietro".
![Date le informazioni riportate in figura, calcolare la lunghezza del lato CB - ricorda che [MATH]sin(30°) = \frac{1}{2}[/MATH].](https://beta.geogebra.org/resource/NthY6NSz/C8rnf5Scf1EEHDKw/material-NthY6NSz.png)
Per risolvere correttamente il problema è importante ricordare che il seno di 30° NON è la misura del segmento , che quindi NON è lungo . Il fatto che il seno di 30° valga ci dice che in un angolo di 30° la componente di "elevazione" (quella opposta all'angolo) è pari a DEL SEGMENTO INCLINATO (l'ipotenusa), cioè la sua metà. Abbiamo quindi:
Otteniamo lo stesso risultato partendo dalla definizione generica di seno:
LE RELAZIONI FONDAMENTALI DELLA GONIOMETRIA
Come anticipato, il cerchio goniometrico permette di ottenere in modo molto diretto le due relazioni fondamentale della goniometria, come diretta conseguenza di quanto appena ottenuto.
Ricordiamo infatti che nel cerchio goniometrico valgono tra i lati del triangolo costruito sull'angolo le seguenti relazioni :
- l'ipotenusa misura 1,
- il cateto opposto all'angolo coincide con il seno dell'angolo
- il cateto adiacente all'angolo coincide con il coseno dell'angolo
AD UN SENO CORRISPONDONO DUE COSENI - E VICEVERSA
Applicando la prima relazione fondamentale abbiamo visto come ottenere il seno a partire dal seno e viceversa. Rivediamo velocemente come:
Applicando una radice per eliminare la potenza ottengo
Avevamo già notato come a partire da un certo valore di otteniamo due valori opposti per .
ESEMPIO: Un angolo ha seno che misura . Quanto misura il suo coseno? Quanto vale ?
Applicando la formula appena trovata otteniamo:
Non avendo altri elementi, non siamo in grado di decidere quale dei due valori (quello positivo o quello negativo) sia il corretto coseno dell'angolo. Di conseguenza tantomeno riusciamo a stabilire la misura dell'angolo stesso.
Grazie alla rappresentazione sul cerchio goniometrico siamo in grado di capire la ragione di questa ambiguità: nell'animazione presentata sopra, infatti, abbiamo visto due angoli che avevano lo stesso seno ed il coseno opposto: quindi dato un valore del seno (una misura dell'elevazione) abbiamo due possibili valori del coseno: uno spostamento "in avanti", e quindi positivo, ed uno spostamento identico ma "all'indietro", cioè negativo.
Rivediamo questo caso nell'immagine qui sotto.
![Data una misura [math]\large{\textcolor{red}{\overline{OK}}}[/math] per il seno dell'angolo ([color=#ff0000][b]coordinata [/b][math]\large{y}[/math][b], cioè spostamento verticale[/b][/color]), otteniamo due possibili angoli: [math]\large{\alpha}[/math] che è rivolto "in avanti" (verso le [math]\large{x}[/math] [i]positive[/i]) e quindi ha coseno positivo ed [math]\large{\beta}[/math] che è rivolto "indietro" e quindi ha coseno negativo.
Si vede facilmente che i due triangoli [math]\large{OKP_1}[/math] ed [math]\large{OKP_2}[/math] sono congruenti, quindi la misura dei due coseni [math]\large{\textcolor{blue}{\overline{KP_1}}}[/math] ed [math]\large{\textcolor{blue}{\overline{KP_2}}}[/math] è la stessa; hanno però segno opposto perché il punto [math]\large{P_1}[/math] ha coordinata [math]\large{x}[/math] positiva e [math]\large{P_2}[/math] ce l'ha negativa.
Con ulteriori considerazioni geometriche dedurremo, nel prossimo capitolo la relazione tra le misure dei due angoli [math]\large{\alpha}[/math] e [math]\large{\beta}[/math].](https://beta.geogebra.org/resource/kahfmwqd/NBQxN5zJ66OpXMkX/material-kahfmwqd.png)
La stessa ambiguità si ottiene ovviamente ricavando dalla prima legge fondamentale il seno.
Se ho il valore del coseno, cioè un certo spostamento orizzontale, ottengo due valori per il seno, e quindi due angoli caratterizzati dal coseno di partenza: un angolo rivolto verso l'alto (seno positivo) ed uno rivolto verso il basso (seno negativo).
![Data una misura [math]\large{\textcolor{blue}{\overline{OH}}}[/math] per il coseno dell'angolo ([color=#0000ff][b]coordinata [/b][/color][math]\large{x}[/math][color=#0000ff][b], cioè spostamento orizzontale[/b][/color]), otteniamo due possibili angoli: [math]\large{\alpha}[/math] che è rivolto verso l'alto e quindi ha seno positivo ed [math]\large{\alpha '}[/math] che è verso il basso ed ha seno negativo.
Si vede facilmente che i due triangoli [math]\large{OHA}[/math] ed [math]\large{OHA'}[/math] sono congruenti, quindi la misura dei due seni [math]\large{\textcolor{red}{\overline{AH}}}[/math] ed [math]\large{\textcolor{red}{\overline{AH'}}}[/math] è la stessa; hanno però segno opposto perché il punto [math]\large{A}[/math] ha coordinata [math]\large{y}[/math] positiva e [math]\large{A'}[/math] ce l'ha negativa.
Per la stessa ragione i due angoli [math]\large{\alpha}[/math] ed [math]\large{\alpha '}[/math] sono congruenti, o più precisamente sono opposti - uno è misurato in senso antiorario ed è positivo e l'altro in senso orario ed è negativo. Due angoli hanno stesso coseno e seni opposti quando sono loro stessi opposti, cioè quando [math]\large{\alpha ' = -\alpha}[/math].](https://beta.geogebra.org/resource/kuwvt8xr/30LfdaMmUXPAjAND/material-kuwvt8xr.png)
Abbiamo già visto due casi di coppie di angoli che hanno grandezze goniometriche in comune - stesso seno o stesso coseno. Ricorderai anche che abbiamo visto che due angoli complementari si scambiano seno e coseno.
Sono i casi più semplici di una tipologia di relazione più generale, che definiscono coppie di angoli le cui grandezze goniometriche sono legate tra loro. Queste coppie di angoli si definiscono archi associati, e saranno l'argomento del prossimo capitolo.