Digitale Funktionenlupe (lokale Linearität)
Im linken Fenster ist der Graph einer Funktion f zu sehen.
Um einen Punkt A auf dem Graphen ist ein Quadrat gezeichnet, das eine Lupe darstellen soll.
Dieses Quadrat wird in das zweite Fenster übertragen und damit vergrößert.
Mit dem Schieberegler h kann man das Lupenquadrat im ersten Fenster verkleinern und damit
im zweiten Fenster eine stärkere Vergrößerung erzielen.
a) Ziehen Sie an h und beobachten Sie im rechten Fenster den Graphen von f.
Was stellen sie für immer kleineres h fest?
b) Blenden Sie mit der Check-Box die Sekanten ein. Was passiert für immer kleineres h?
c) Wie kann man die Steigung von f (genauer: des Graphen von f) im Punkt A definieren?
Lupe, h-Methode, Sekanten
Didaktischer Hinweis
Es wird der Graph einer Funktion immer weiter ausschnittsweise vergrößert (gezoomt).
Wenn die Funktion genügend gutartig ist, erscheint der vergrößerte Ausschnitt schließlich linear (das wird man dann differenzierbar nennen),
Es geht also um die Grundvorstellung Lokale Linearität, nicht um lineare Approximation, wie gelegentlich gesagt wird. Die lokale Linearität ist ein intuitiv einsichtiger Begriff, der schon an Klasse 7 verstanden werden kann. Die lineare Approximation ist dagegen ein schwieriger Begriff, der Grenzwerte und Optimalitätsargumente benötigt (wenn man ihn nicht zirkelschlüssig anlegt).
Kirsch hatte in seinem Funktionenmikroskop in den 1980er Jahren einen rein graphischen Ansatz.
Er berechnete keine Differenzenquotienten, machte keine Grenzwertbildung.
Er führte auch keine lineare Approximation durch und zeichnete keine Tangente!
Kirsch betrachtete vielmehr "den Graphen der Funktion f selbst", es ging ihm um „die Idee der ‚lokalen Glättung‘ des Graphen bei fortwährender Vergrößerung“. Seine Frage war: „Wie steil ist die Funktion f an der Stelle a?“
In der Funktionenlupe wird jetzt sein rein graphischer Ansatz mit dem Kalkül der h-Methode verbunden.
Technischer Hinweis
In dieser Webversion ist das zweite Fenster, das Zoom-Fenster so gestaltet, dass die Proportionen in x- und y-Richtung gleich sind. Anschaulich gesagt: Die Kästchen im Koordinatengitter sehen quadratisch aus, unverzerrt.
Das ist hilfreich, wenn man 'nach Augenmaß' die lokale Steigung angeben will.
Dies ist dann durch den Browser auf jedem Gerät gesichert.
Startet man die Aktivität aber auf dem Rechner mit der GeoGebra-App, so wird die Dimension des zweiten Fensters durch die Grafikkarte des Rechners beeinflusst. Das heißt, das zweite Fenster kann je nach Gerät in unterschiedlicher Verzerrung erscheinen. Dann ist es ggf. ratsam, so an der Grenze zwischen den beiden Grafik-Fenstern zu ziehen, dass die Koordinatengitter-Kästchen im zweiten Fenster quadratisch erscheinen.
Erstveröffentlichung: Elschenbroich, H.-J., Seebach, G. & Schmidt, R. (2014): Die digitale Funktionenlupe. Ein neuer Vorschlag zur visuellen Vermittlung einer Grundvorstellung vom Ableitungsbegriff.
In: mathematik lehren 187, 34–37.
www.funktionenlupe.de