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Máximos y mínimos: Problemas de aplicación.

Con frecuencia en la vida, nos enfrentamos con el problema de encontrar la mejor manera de hacer algo, por ejemplo:
  • Un granjero necesita elegir la mezcla de cultivos que sea la más apropiada para producir la mayor ganancia.
  • Un médico desea seleccionar la menor dosis de una droga que curará cierta enfermedad.
  • A un fabricante le gustaría minimizar el costo de distribución de sus productos.
Algunas veces, un problema de este tipo puede formularse de modo que implique maximizar o minimizar una función en un conjunto específico.
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Máximo y Mínimo

Para encontrar el máximo (y/o mínimo) de una función cualquiera f(x), resulta de:
  • Encontrar las raíces (a) de f'(x):
  • Máximo: sí al evaluar a en f''(x) < 0
  • Mínimo: sí al evaluar a en f''(x) > 0

Optimización: Estrategia para resolver problemas de Máximos y Mínimos

Para los problemas de aplicación en donde se requieren encontrar los máximos y mínimos (optimización):
  1. Haga un dibujo del problema
  2. Asigne las variables idóneas para las cantidades importantes
  3. Escriba una función que se maximizará o minimizará, en términos de las variables
  4. Utilice las condiciones del problema para eliminar todas las variables. Hasta quedar en términos de una variable
  5. Encuentre los máximos (o mínimos) de la función
  6. Revise los resultados.

Problema 1

Una caja cuadrada se fabrica con una pieza de cartón de 6 cm de lado, de la cual se cortan cuadrados idénticos a partir de las cuatro esquinas y se doblan los lados hacia arriba. Determine las dimensiones de la caja de volumen máximo. ¿Cuál es este volumen?
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Solución

Siendo x el lado de cuadrado a recortar y V el volumen de la caja resultante. Entonces:



Dado que lo mínimo a recortar es 0 y lo máximo es 3. Entonces el volumen a maximizar está entre [0,3]. Para obtener el máximo, derivamos con respecto a la única variable:

Siendo las raíces x = 3 y x = 1. ¿Cuál valor es el resultado?

Graficación