Une rampe de skateboard : tangentes et paraboles (Ex 61 p 88 : Nathan Transmath 1S 2011)
Solution
On pose g(x) = ax² + bx + c pour x [0;3] et h(x) = a'x² + b'x + c' pour x [3;6].
A(0;0) donc g(0) = 0 d'où soit c = 0
La tangente en A(0;0) à est horizontale donc g'(0) = 0
Or g'(x) = 2ax + b; donc g'(0) = 0 soit b = 0
I(3;1) donc g(3) = 1; donc 9a = 1; donc .
Donc g(x) =
B(6;2) donc h(6) = 3 soit 36a' + 6b' + c' = 2.
La tangente en B(6;3) à est horizontale donc h'(6) = 0
Or h'(x) = 2a'x + b'; donc h'(6) = 0 se traduit par l'équation 12a' + b' = 0 (1)
Les tangentes au point I sont confondues; donc g'(3) = h'(3)
Soit 6a + b = 6a' + b'
Soit (2)
(1) - (2) se traduit par : 6a' = ; d'où a' =
et b' = -12a' =
Puis c' = 2 - 36a' - 6b' = 2 + 4 - 8 = - 2
Finalement f(x) = si x
Et f(x) = si x
On vérifie que h(3) = -1 + 4 - 2 = 1