Découpages en triangles isocèles, lien avec le Nombre d'Or
Pour certaines valeurs de l'angle au sommet ( ...),
un triangle isocèle peut être découpé en triangles isocèles plus petits.
Ce découpage permet de trouver des égalités non évidentes entre cosinus.
Par exemple, dans le grand triangle isocèle d'angle :
Longueur du côté gauche = Longueur du côté droit
d'où : 2cos + 2cos = 1 + 2cos + 2cos
Ou encore, dans le grand triangle isocèle d'angle :
Longueur du côté gauche = Longueur du côté droit
d'où : 2cos = 1 + 2cos
= 1 + 2( 2 cos² - 1 )
= 4cos² - 1
et finalement : [2cos ]² - [2cos] - 1 = 0
[2cos] est donc le fameux Nombre d'Or, solution de l'équation : x - 1 = 1/x
, ou encore : x² - x - 1 = 0 ,
et qu'on peut construire facilement à la règle et au compas.
Puisque le Nombre d'Or vaut , on en déduit que cos =
Cette propriété de cos permet de tracer simplement des pentagones avec une règle et un compas.