Halveringstid

Forfatter: Morten Engelsmann

Nå ja, tid...

Der kan være andre sammenhænge, der kan beskrives med eksponentielle udviklinger, end sammenhænge med tid - selvom der er mange eksponentielle sammenhænge, der faktisk har tid som uafhængig variabel. Men vi kunne da også kalde det halveringskonstant! Og når vi nu er ved det, så taler vi om "halvering" når den eksponentielle udvikling

er aftagende (hvilket den var, når 0<a<1). Men da vi jo også har eksponentielle udviklinger, der er voksende, ser vi i disse tilfælde på en fordoblingstid, eller - mere generelt - en fordoblingskonstant.

Opvarmningsøvelse

Flyt udgangspunktet hen 2-3 steder. Læg mærke til højden (y-værdien) af det grønne punkt. For hvert af de steder, du har valgt: Hvor højt ligger den røde pil over det grønne punkt?

I app'en herunder kan du flytte det grønne punkt og ændre parameterværdier på skyderne for a og b. a) Hvad får længden af T til at ændre sig? b) Hvad kan du ændre på uden at T bliver længere/kortere? - Kan du ændre a? - Kan du ændre b? - Kan du ændre x (ved at flytte det grønne punkt), uden at T bliver længere/kortere? c) Benyt appen herunder til at bestemme fordoblingstiden for funktionen

Opgave 1: Ølskum

Enten udfører du Vækst-regression i GeoGebra-appen herunder, eller du udfører eksponentiel regression på de samme data i Excel ved at hente det ark, der linkes til under (a).

Hent denne Excel projektmappe i min Dropbox. Det kan svare sig at arbejde parvis her (ellers mangler du også en at skåle med, når I kommer til feltarbejdet!)
Udfør eksponentiel regression for at bestemme parameterværdier på den eksponentielle udvikling for hver ølart. I Excel kaldes regressionslinjen for en (eksponentiel) Tendenslinje. Sørg for at vise ligningen for funktionen i diagrammet (sæt flueben)! Omregn om nødvendigt fra til ved at bruge potensregnereglen med .
Bestem, hvor lang tid det tager (for hver ølart), før skummet er faldet til det halve.

Sammenfald af skum på tre slags øl

Opgave 2: Afkøling af væsker

Hent Word-dokument her. Fra dokumentet kan data let kopieres til Excel. Har du ikke Excel, Word eller nogle af de andre Office-programmer, kan du installere det med licens fra skolen.

Sætning: Halveringskonstant for eksponentiel udvikling

Givet et grundtal

i den eksponentielle udvikling vil der være et T, man kan lægge til den uafhængige variabel, så den afhængige variabel - funktionsværdien - falder til netop det halve. Vi kan altså sige . Skridtlængden T afhænger alene af grundtallet a, og vil derfor være det samme overalt på funktionens graf, og den fastlægges ved

Bevis (halveringskonstant)

Vi har funktionsforskriften

og indsætter sætningens to udtryk for "halv funktionsværdi" på hver side af et lighedstegn:

Her kan vi reducere, idet faktoren b fremgår på begge sider af lighedstegnet. Vi dividerer derfor med b:

Med potensregnereglen for produkt af potenser med samme fortegn fås

Igen kan vi reducere, og får udtrykket

Med kendt grundtal fremstår udtrykket som en eksponentiel ligning. Denne logaritmeres:

Med reglen om logaritme af potens fås

Herfra kan vi isolere T :

Hvilket afslutter beviset. Afslutningsvis kan bemærkes, at

. Desuden skal bemærkes, at man på lignende vis kan udforme en sætning (og et bevis), som omhandler voksende eksponentielle udviklinger. For de voksende funktioners vedkommende vil man tale om fordobling hvor vi ovenfor har talt om halvering.

Referencer

Wikipedia (en): Exponential decay, der fx henviser til en undersøgelse af ølskum
Webmatematik har dette