Lugares geométricos 4

Autor:José Luis Soto Munguía

En la construcción mostrada en la Figura 1, se han trazado una recta m y un punto Q sobre ella, además un punto A exterior a la recta y una perpendicular a la recta m que pasa por el punto Q, también el segmento AQ y la recta mediatriz a este segmento. La perpendicular a m, trazada por Q y la mediatriz al segmento AQ se intersecan en un punto P.

Figura 1

1. El applet siguiente es la construcción dinámica de la Figura 1, en la que el punto Q puede ser arrastrado sobre la recta m.

a) Arrastre el punto Q y observe la trayectoria que sigue el punto P, describa la curva que traza el punto P al arrastrar Q.

b) En la siguiente tabla separe las magnitudes (medidas de segmentos, ángulos, etc.) que varían y las que no varían al arrastrar el punto Q.

b1) Magnitudes que permanecen fijas

b2. Magnitudes que varían

c) Entre las magnitudes que están variando, ¿cuáles permanecen iguales entre sí, a pesar de la variación?

d) Investigue cuál es la definición de parábola como lugar geométrico y argumente con base en el comportamiento de las magnitudes de la construcción (Figura 1), por qué la curva trazada por P al arrastrar Q, es efectivamente una parábola.

2. El applet siguiente ha sido construido con base en el anterior, trazando sobre él los triángulos AOQ y QMP, se ha trazado además desde el punto A una recta perpendicular a OQ.

a) Arrastre el punto Q y observe los triángulos AOQ y QMP, estos triángulos cambian al mover el punto Q, pero conservan algunas características. Describa cuáles son las características que conservan.

b) Al arrastrar el punto Q, los lados de los triángulos AOQ y QMP varían, excepto el lado AQ, ¿por qué?

c) Los triángulos AOQ y QMP se conservan semejantes al mover Q. Ofrezca una justificación geométrica de esta semejanza.

d) Exprese la hipotenusa AQ en términos de a y t.

e) Exprese MQ en términos de a y t. Use para ello el hecho de que M es el punto medio de AQ, ¿por qué M se mantiene como punto medio de AQ?

f) Use la semejanza de los triángulo AOQ y QMP para establecer una relación algebraica entre las variables s y t.

3. Ahora veremos otra manera de buscar la ecuación de esta curva, utilizando el plano cartesiano. Obsérvese que en el applet anterior, el punto O ha sido tomado como referencia y las variables s y t se miden a partir de este punto. La distancia t (OQ) se toma sobre una recta que pasa por O y la distancia s sobre una perpendicular a la recta OQ, que pasa por Q. Entonces ubicaremos la construcción anterior tomando el punto O en el origen del sistema de coordenadas y la recta OQ como el eje X. El applet resultante es el siguiente:

Ahora traduciremos lo hecho hasta aquí, a las coordenadas x y y. Tal como se ha visto antes y como usted puede verificar en el applet, al arrastrar Q, se mantienen iguales entre sí las distancias AP y PQ, es decir se cumple para todo P que: AP = PQ Si OQ =x y PQ=y, entonces al punto P que traza la curva le podemos asignar las coordenadas genéricas (x,y). Esto nos permite escribir la distancia entre A(4,0) y P(x,y), como

y la distancia PQ=y. Luego la ecuación anterior puede escribirse como:

a) Simplifique esta ecuación lo más que pueda y escríbala aquí:

b) Descargue el applet anterior y despliegue la vista llamada Cálculo Simbólico (CAS). Capture en el primer renglón de esta vista el comando EcuaciónLugar(P,Q) y luego oprima la tecla “enter”, GeoGebra le dará una ecuación del lugar geométrico de la curva. En pantalla la ecuación se mostrará como en la Figura 2:

Compare la simplificación de la ecuación que usted ha obtenido y compárela con la que arroja GeoGebra, ¿cuál es la diferencia?

c) La ecuación representa algebraicamente la parábola que hemos trazado. Haga x=0 en esta ecuación y resuelva la ecuación para obtener el valor de y. ¿Qué significa este valor en la gráfica?

d) Ahora haga y=0 en la ecuación y trate de resolver la ecuación ¿Qué significado gráfico tendrá la inexistencia de raíces reales para esta ecuación?

Lugares geométricos 4

Figura 1

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