p.199 es. 136 Manuale blu 2.0 di matematica M. Bergamini

Argomento:
Matematica
Elaborato da: Santiago Vignoli Trento 22/09/2013 Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi Manuale Blue 2.0 di Matematica p. 199 es. 136: Un triangolo isoscele ABC ha i vertici A(-2;1) e B(6;-1) e la misura della sua area è 85/2: a) Trova il vertice c. b) Determina il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo.
Dati: A(-2; 1) B(6;-1) Area del triangolo = 85/2 Il triangolo è isoscele. Soluzione: Il triangolo è isoscele quindi in AC1 = BC1 e AC2=BC2. Calcoliamo la distanza AB AB = √((xa-xb)^2+(ya-yb)^2 )= √((-2-6)^2+(1+1)^2 ) AB = √((8)^2+(2)^2 )= √(64+4 )= √(68 )= √(4*17 )=2√(17 ) AB =2√(17 ) Calcoliamo il punto medio xm=(xa+xb)/2=(-2+6)/2=2 ym=(ya+yb)/2=(1-1)/2=0 M(2;0) Calcoliamo l’altezza h area = AB*h/2 quindi h = 2 area/AB = 85/(2√(17 )) h= 2 85/(4√(17 )) = (85√(17 ))/(2*17)=5/2 √(17 ) h=5/2 √(17 ) = MC Se crea il sistema AC1=BC1 per trovare la retta che passa per il punto medio e per C1 perché in questo punto le rette (AC1 e BC1) si incontrano e pertanto sono eguali. AC1 = √((xa-xc)^2+(ya-yc)^2 ) = √((-2-xc)^2+(1-yc)^2 ) BC1 = √((xb-xc)^2+(yb-yc)^2 ) = √((6-xc)^2+(-1-yc)^2 ) AC1=BC1 = √((-2-x)^2+(1-y)^2 ) = √((6-x)^2+(-1-y)^2 ) (-2-x)^2+(1-y)^2=(6-x)^2+(-1-y)^2 (4+4x+x^2 )+(1-2y+y^2 )=(36-12x+x^2)+(1+2y+y^2) (4+4x)+(-2y)=(36-12x)+(2y) 4-36+4x+12x-2y-2y=0 -32+16x-4y=0 -8+4x-y=0 4x-y=8 y=4x-8 Allora applichiamo la tecnica per trovare il vertice di un triangolo dove sono noti due vertici, e l’area e la retta di appartenenza. I punti A(-2; 1) , B(6;-1) h=5/2 √(17 ) = MC Retta di appartenenza y=4x-8 Il punto C(x,y) la y la sostituiamo con la il valore trovato della retta: C(x ; 4x - 8) Applichiamo la formula della distanza tra due punti e la facciamo eguale all’altezza MC MC= √((x-xm)^2+(y-ym)^2 )=√((x-2)^2+(y-0)^2 )=√((x-2)^2+(4x-8)^2 ) MC= √(x^2-4x+4+16x^2-64x+64 )= 5/2 √(17 ) MC=√(17x^2-68x+68 )= 5/2 √(17 ) MC= 17x^2-68x+68=25/4*17 Dividiamo per 17 MC = x^2-4x+4=25/4 Moltiplichiamo per 4 MC = (4x)^2-16x+16=25 MC = (4x)^2-16x+16-25 =0 MC = (4x)^2-16x-9 =0 Divido per 4 MC = x^2-4x-9/4 =0 Divido per 4 MC= x^2-4x-9/4 =0 Risolviamo l’equazione di secondo grado: (4± √(4^2+9))/2=(4±√(16+9))/2=(4± √25)/2= (4± 5)/2= x1=9/2 x2=-1/2 Per trovare i valori di y sostituiamo x in y=4x-8 y1=10 y2=-10 Quindi C1(9/2 ; 10) e C2(-1/2; -10) Per calcolare il raggio della circonferenza inscritta usiamo la formula r = 2 area/perimetro = 85/AB+AC+BC I punti A(-2; 1) , B(6;-1) Calcoliamo AC=√((xa-xc)^2+(ya-yc)^2 ) =√((-2-9/2)^2+(1-10)^2 ) = √((-13/2)^2+(9)^2 ) AC=√(169/4+81)=√((169+324)/4=) √(493/4) AC=√(493/4) = ½ √493 Come è un triangolo isoscele AC = BC quindi, r=85/(2√17+√493) Razionalizziamo: r=85/(2√17+√493)*(2√17-√493)/(2√17-√493)= (85*(2√17-√493))/(4*17-493)= (85*(2√17-√493))/(68-493)= r= (85*(2√17-√493))/(-425)= (√493- 2√17 )/5 r= (√493- 2√17 )/5