van waar komt die beruchte 'komma'?
frequenties worden niet opgeteld maar telkens vermenigvuldigd!
exponentieel model:
De frequentie van het octaaf is 2 maal deze van de grondtoon.
Bij elke toontrap van een halve toon vermenigvuldigen we de frequentie met 2(1/12) .
We rekenen dus in een exponentieel verband met groeifactor 2(1/12).
Rekenen we met stappen van octaven, dan is er een exponentieel verband met groeifactor 2.
n octaven hebben verhouding van 2n ten opzichte van de grondtoon.
Een reine kwint heeft een verhouding 3/2 ten opzichte van de grondtoon.
Rekenen we met stappen van kwinten, dan is er een exponentieel verband met groeifactor 3/2.
n kwinten hebben een verhouding (3/2)n ten opzichte van de grondtoon.
Elke wiskundige weet dat een macht van 3 altijd oneven is, en dus nooit gelijk zal zijn aan een macht van 2.
Een geheel aantal kwinten (verhouding 3/2) kan dus nooit gelijk zijn aan een geheel aantal octaven (verhouding 2/1).
| do | do# | re | re# | mi | fa | fa# | sol | sol# | la | la# | si | do |
| 1 | 21/12 | 22/12 | 23/12 | 24/12 | 25/12 | 26/12 | 27/12 | 28/12 | 29/12 | 210/12 | 211/12 | 212/12 = 2 |
De verhouding tussen 12 kwinten en 7 octaven noemt men het komma van Pythagoras.
Met andere woorden: 12 reine kwinten = 1,0136 keer 7 reine octaven.
In ons toonsysteem is een do is een halve noot hoger dan een si. Een si# zou dus gelijk moeten zijn aan een do. Maar rekenend in kwinten komen we iets hoger uit dan rekenend in octaven.
Is dat nu een probleem: één kommaatje na 7 octaven?
Voor eenvoudige liedjes is dat inderdaad geen enkel probleem, maar wanneer je binnen één muziekstuk het tooncentrum wil verleggen (= moduleren), ja dan kom je echt wel in de problemen. Want, al kom je een si# nog niet zo snel tegen, een si# die verschilt van een do doet heel het systeem wankelen.
Want een la b is dan ook niet gelijk aan een sol#, een fa# niet aan een sol b enz.
Hoe het komt dat een la b niet gelijk is aan een sol# kunnen we illustreren door de kwintenrij uit te breiden:
Ab - Eb - Bb - F - C - G - D - A - E - B - F# - C# - G#
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
De Ab vinden we 4 kwinten onder de C. Deze herleiden we vervolgens naar het basisoctaaf van de centrale C.
De verhouding van deze Ab en de grondtoon C = 1 : (3/2)4 . 23 = 1,5802
De G# vinden we 8 kwinten boven de C. Deze herleiden we vervolgens naar het basisoctaaf van de centrale C.
De verhouding van deze G# en de grondtoon C = (3/2)8 : 24 = 1,6018
De G# ligt dus iets hoger dan de Ab. Het verschil tussen beide tonen vinden we als de verhouding
1,6018 / 1,5802 = 1,01367 en is dus gelijk aan het komma van Pythagoras (iets meer dan 1/9 van een hele toon).
Speel je b.v. muziek in de toonaarden Eb groot of c (do klein) dan moet je eigenlijk een Ab spelen.
Speel je in de toonaarden A of E dan moet je een G# spelen en dat wordt moeilijk wanneer op een klavier
voor de twee verschillende tonen slechts een toets voorzien wordt. Je hebt dan 3 mogelijkheden:
- Ofwel maak je de keuze om slechts een van beide juist te stemmen.
- Ofwel kies je voor het midden van beide tonen en speel je ze allebei een beetje onzuiver.
- Ofwel bouw je een klavier met aparte toetsen voor de twee tonen.
Zo beschreef Michael Praetorius in 1619 het zogenaamde 'cembalo universale' met opgesplitste toetsen en ook in historische beschrijvingen van kerkorgels is sprake van dergelijke klavieren.