Geometriska talföljdens summa
Legenden säger att det i Indien fanns en listig uppfinnare av ett schackbräde. Han visade detta för kungen som imponerades av väldigt mycket och bad om att få köpa uppfinningen. Uppfinnaren funderade en liten stund och gav sedan ett förslag baserat på hans schackbräde. Han bad om att på första rutan få ett riskorn och sedan för varje ruta så fördubblas antalet riskorn. Kungen accepterade snabbt och glad över att han bara skulle behöva betala i lite ris.
Detta är en klassisk liten historia med många variationer som kan ge flera goda pedagogiska applikationer.
Nu ska vi fundera över om vi kan översätta riskornen till en matematisk formel. En geometrisk summa. Sedan ska vi titta på hur mycket ris det totalt blir och se om uppfinnaren eller kungen gjort bästa beslut.
En geometrisk summa kommer vi ihåg skrivs som .
Första talet är ju 1 och sedan fördubblas det. Alltså kvoten blir 2.
Då får vi den geometriska talföljden .
Vi kan ju räkna ut att på ruta åtta finns det riskorn.
Sista rutan kommer det finnas riskorn.
Det är väldigt mycket, 9 triljoner.
Vi kanske ska se hur mycket ris som det totalt blir.
Då får vi räkna ut summan av
1+2+4+8+16+32+64+128+...+18446744073709551616
Det blir mycket siffror att hålla reda på.
Då kan vi lösa detta med en geometrisk summa. Vi härleder den här nedan, kan vara lite jobbiga steg, men hoppa annars ned till formeln direkt nedan.
Vi ska alltså räkna ihop de 64 första i detta risproblem. Vi skriver upp det med potenser denna gång.
Vi multiplicerar med kvoten 2.
Om vi jämför nu så finns det termer som är lika med det vi hade från början. Så som , , och alla upp till . Vi subtraherar bort dessa.
I detta fallet bryter vi ut i vänsterledet i stället för att räkna ut subtraktionen (av skäl du ser senare) och då kommer vi ha kvar
Vi dividerar
Alltså då ca 18,4 triljoner riskorn.
I historien brukar kungen förlora hela sitt kungadöme eftersom det är så mycket ris. För att sätta det i perspektiv om hur mycket det är så blir det omkring 384 biljoner ton ris vilket kan försörja jordens befolkning på ris i 803 tusen år.
Vi försöker se på resultatet. Summan ser ju ut att vara en potens av kvoten genom kvoten och så subtraherar man dem. Vi måste ha med första talet med. Den ser ut att ha försvunnit, men allt är ju egentligen multiplicerat med 1 här. Så en fullständig formel är nedan.
Hit ner kan du hoppa!
Summan av de första termerna i en geometrisk talföljds är:
där .
Vi tar appletten från förra arbetsbladet och lägger på vad summan blir för de första termerna.
Tror appletten har svårt med väldigt stora siffror. Du kan se nedan på schackproblemet så stämmer inte slutsiffran. Men med ett lägre så stämmer det...
Man kan använda detta för att exempelvis räkna på lån och besparingar.
Adam sparar 500 kr varje månaden på ett konto där han har 2% årsränta. Hur mycket pengar kommer Adam ha om 5 år på kontot om han får räntan beräknad varje årsskifte?
Vi kan se att Adam sparar 6000 kr per år och vi kan förenkla det till att han får räntan precis där efter.
Vi har ju lärt oss från tidigare år med ränta att om man bara gör en insättning och sedan väntar får man ränta på räntan. Detta kan vi beskriva med en vanlig exponentialekvation
där är pengar på kontot, är räntesatsen som förändringsfaktor och är antal år.
Hans första 6000 kr kommer efter 8 år vara värda
kr
Sedan kan vi göra motsvarande beräkningar för varje och lägga ihop allt. Eller så gör vi det med tekniken ovan, summan av en geometrisk talföljd.
kr.
Bea har tagit ett lån till en lägenhet på 510000 kr till en lägenhet. Lånet är ett annuitetslån på 10 år med räntan 3,40%. Ett annuitetslån betyder att man betalar samma summa varje gång.
Bea ska betala en gång per år. Hur mycket kommer hon behöva betala?
Om Bea skulle vänta i 10 år för att betala hela lånet skulle hon behöva betala:
kr
Vi vet inte hur mycket hon kommer behöva betala som grund för att komma dit, men vi vet räntesatsen. Vi använder geometriska talföljdens summa.
Vi löser ut x
Det ser märkligt ut hur 61014 kr 10 gånger blir 712485 kr det saknas ju 102345 kr.
Detta är eftersom de första inbetalningarna minskar lånet "så pass mycket" så att det i långa loppet blir mindre räntekostnader. Vi kan säga att Bea sparar 102345 kr genom att göra sina avbetalningar.