Pied de hauteur, orthocentre de la base du tétraèdre
Un tétraèdre qui a ses quatre hauteurs concourantes est dit orthocentrique.
Si le pied d'une des hauteurs est l'orthocentre de la base, le tétraèdre est orthocentrique.
Trois points B, C et D dans le PlanxOy.
H orthocentre de BCD : H = TriangleCentre[B,C,D,4] ;
A un point de la perpendiculaire à PlanxOy passant par H ;
ABCD un tétraèdre de base BCD.
Le pied d'une des hauteurs est l'orthocentre de la face opposée.
Montrer que la droite (BC) est orthogonale à (AH) et perpendiculaire à (HD),
en déduire que (BC) est orthogonale à (AD),
conclure que le tétraèdre est orthocentrique.
Solution
La droite (AH), orthogonale au plan (BCD), est orthogonale à toutes les droites de ce plan donc à la droite (BC).
H étant l'orthocentre du triangle BCD, (DH) hauteur issue de D est perpendiculaire au côté (BC).
Le plan (ADH) contient les droites (AH) et (DH). Ces deux droites distinctes et sécantes en H ne sont pas parallèles ; elles sont orthogonales à la droite (BC), donc la droite (BC) est orthogonale au plan (ADH).
Cette droite (BC), orthogonale au plan (ADH), est orthogonale à toutes les droites de ce plan, donc à la droite (AD).
Les droites (BC) et (AD) sont orthogonales.
Une démonstration identique montrerait que (CD) et (AB) sont orthogonales. Le tétraèdre ABCD est orthocentrique ; les arêtes (BD) et (AC) sont aussi orthogonales.
Avec GeoGebra, créer une vue de face avec le triangle BCD pour visualiser ces orthogonalités.
Descartes et les Mathématiques : tétraèdre avec GeoGebra 3D