Euler y la serie infinita

El problema era calcular la siguiente suma:

O escrito en lenguaje actual, la suma de la serie:

Euler introdujo la siguiente serie polinómica:

que trató como un polinomio infinito. Y se dedicó a estudiar sus propiedades:

En este punto Euler expresó el seno como una serie

, y por tanto

A continuación, estudió los ceros no triviales de P(x), que son los ceros de sen(x), es decir,

para

. Hay que tener en cuenta que

. Conocidas sus raíces Euler pensó en factorizar P(x), como

expresó los factores como

, de esta forma:

Euler se encontró con dos expresiones para P(x) Operó la segunda forma y obtuvo:

Euler igualó los coeficientes de

, obteniendo que:

Y por tanto,

Notas

Técnicamente presenta algunos errores. Factorizar por sus raíces no garantiza que el resultado sea correcto, pues por ejemplo tiene las mismas raíces y obviamente son expresiones distintas.
Euler también da por supuesto la convergencia de ciertas series infinitas necesarias para su demostración.

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