L'area di un triangolo dipendente da un triangolo
Un triangolo rettangolo ABC ha i cateti AB e ACche misurano rispettivamente a e x. Costruito il quadrato ACFD, nello stesso semipiano di origine AB in cui giace il triangolo, determina x in modo che sia massima l'area del triangolo DBE tratteggiato.
Soluzione:
• L'area del trinagolo DBE varia al variare dell'incognita x. Indichiamo con la lettera y la suddetta area.
• Si procede calcolando l'area y:
dove: α è l'angolo convesso sul punto B.
Si ricorda che l'angolo α appartiene sia al triangolo DBE che al triangolo ABC, è quindi possibile calcolare la tangente come rapporto fra x ed a.
• Si ricava il massimo derivando la funzione che descrive il comportamento
dell'area al variare di x e ponendola uguale/maggiore a 0:
da cui risulta:
Si avrà quindi un massimo in:
• Si conclude che l'area del triangolo DBE è massima quando a è tre volte maggiore di x