Las transformaciones geométricas.
Una Transformación Geométrica, conocida también como Transformación en el Plano o Movimiento en El Plano, es una función que hace corresponder a cada punto del plano, otro punto del mismo plano al cual se le llama Imagen. En general, una Transformación es una operación geométrica que permite encontrar o construir una nueva figura a partir de una que se ha dado inicialmente. La nueva figura se llama homóloga o transformada de la original.
Cuando trabajamos las Transformaciones Geométricas, es importante tener en cuenta la notación a utilizar; entonces si A es un punto del plano α, al que se le aplica una transformación T, entonces A´, que también pertenece al plano α, es su homólogo o transformado si existe una aplicación tal que convierta a A en A´. Esto lo notaremos así
T (A) = A´
y se lee “el homólogo de A por aplicación de la transformación T es A´.”
Así, por ejemplo la transformación de un segmento AB es el segmento homólogo A´B´ tal que, a cada uno de los puntos del primero, le corresponde, por la transformación T, un punto del segundo:
T (AB) = A´B´
Las transformaciones se clasifican según las propiedades que conservan. Hay dos clases:
Transformaciones Isométricas: son aquellas que en el proceso de transformación conservan las distancias (iso, igual; métrica, medida); sólo cambia la posición de las figuras. Estas transformaciones suelen llamarse movimientos en el plano. La figura a la que se aplica este tipo de transformación tienen como transformada, otra que es congruente a ella. Corresponden a este tipo de transformación, las simetrías, la traslación y la rotación.
Transformaciones Isomórficas: son aquellas que conservan la forma (iso, igual; mórfica, proviene de forma). En estas transformaciones existe una proporcionalidad entre las medidas de las figuras involucradas. Si se trata de figuras de polígonos, conservan los ángulos. Entre estas transformaciones están la homotecia y la semejanza.
Una transformación Isométrica, puede conserva o no, el sentido de las figuras homólogas y con base en esto, la transformación puede ser
Directa: cuando conserva el sentido en el plano coordenado. La figura original y la figura transformada se pueden superponer, sin salir del plano.
Inversa: cuando los sentidos del original y del homólogo son contrarios. Las figuras homólogas experimentan tipos de movimientos que determinan que no pueden superponerse, sin salir del plano.
Este recurso de geogebra pretende ayudar en la comprensión de las transformaciones Isométricas: TRASLACIÓN, ROTACIÓN Y SIMETRIA AXIAL.
Inicialmente te encuentras con las vistas Gráfica y Hoja de Cálculo. Puedes escoger trabajar con un polígono de hasta 12 vértices (12 lados), introduciendo un número entre 3 y 12 en la casilla NÚM. VÉRTICES. Los puntos coordenados del polígono los puedes escribir en la hoja de cálculo en las columnas de color amarillo (columna A para la abscisa -x- y la columna B para la ordenada -y-). Si presionas el botón Nuevo, estas celdas se volverán 0 y entonces introduces tus valores o si lo prefieres escribes sobre la celda. También puedes cambiar, en cualquier momento, las coordenadas de un punto modificando en la hoja de cálculo o moviendo el punto en la vista gráfica, con el mouse. Cuando has escogido el número de vértices y has escrito tus coordenadas, presionas en POLÍGONO para que aparezca la respectiva figura.
En la parte inferior derecha hay tres casillas para que selecciones la transformación que quieres trabajar.
TRASLACIÓN: necesitas un vector. Los extremos de él los puedes colocar en la hoja de cálculo (Celdas de color verde). Este vector lo puedes modificar en cualquier momento. Das click en INIC TRASL para que puedas ver este movimiento.
ROTACIÓN: necesitas un centro de giro (celdas de colo café) y un ángulo (introduces el valor en la casilla ÁNGULO). El ángulo, por defecto viene en radianes entonces es un número entre -6.28 y 6.28. Si deseas que aparezca en grados, cambias la propiedad del ángulo alfa(); en la pestaña Álgebra seleccionas simbólico, ya queda en grados y es un valor entre -360° y 360°. Das click en INIC ROTAC para que puedas ver este movimiento.
SIMETRIA AXIAL: necesitas una recta, entonces puedes modificar la que te aparece, cambiando de lugar los puntos P o Q. Das click en INIC SIMET para que puedas ver este movimiento.
Recuerda que en cualquier momento puedes cambiar tu polígono y su número de lados,sin tener que empezar de nuevo.
Luego de leer el texto y de ver las figuras, realiza lo solicitado en cada caso.
1- Elige una figura, mueve uno de sus puntos que no sea las primas, ¿Qúe ocurre?.
2- En cualés puntos observan una reflexión, ¿Por qué?
3- Las primas son dependientes o independientes, justifica tu respuesta.
4- Mueve uno de los vectores, (T, U) o (N, O), ¿Nota algún cambio en alguna de las figuras?, si ocurre algún movimiento, hacia qué dirección se mueve la figura asociada al vector.
5- ¿Es posible vincular dos figuras a un solo vector? ¿Por qué?