Spinnwebdiagramm für geometrische Reihe
- Autor:
- kallegfs
- Thema:
- Mathematik
Es wird die unendliche Summe 1+1/2+1/4+1/8+... gebildet.
Gibt es einen Grenzwert, d.h. einen Wert, an den sich die Summe immer mehr annähert, je mehr Summanden man addiert?
Das Spinnwebdiagramm gibt Antwort:
Die einzelnen Teilsummen S(n) berechnen sich nach der Rekursions-Formel S(n)=1/2·S(n-1)+1
Aufeinanderfolgende Teilsummen haben gleiche Werte, wenn S(n)=S(n-1)
Setzt man für S(n-1) die Variable x und für S(n9 die Variable y, so ergeben sich die beiden Geradengleichungen
y=x und y=1/2·x+1
Der Schnittpunkt der beiden Geraden gibt an, wie groß die Gesamtsumme ist.
Aufgaben:
1. Mit dem Schieberegler kann man die Steigung der roten Geraden ändern. Damit ändert sich auch die x-Koordinate des Schnittpunkts F. Was gibt der entsprechende x-Wert an? Zu welcher Summe gehört dann das Ergebnis?
2. Betrachte allgemein die Summe 1+q+q²+q³+...
Welche Form hat hier die Rekursionsgleichung? Wo liegt der Schnittpunkt der Geraden? Was gib der Wert der x-Koordinate an?
3. Finde eine Formel, mit der man die schnell die Summe berechnen kann.