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"CASSINI-Funktion"

Autor:
Walter Füchte
Thema:
Kreis

Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (Oktober 2019) Kapitel: "Spezielle komplexe Funktionen"

Diese Namensgebung ist reines Privatvergnügen, wahrscheinlich wird man Suchmaschinen vergeblich zur Aufklärung bemühen! Auf den Seiten dieses Kapitels über "Spezielle komplexe Funktionen" wollten wir die geometrische Wirkungsweise einiger Standard-Funktionen der komplexen Analysis durch ihre Bilder des Standard-Kurvennetzes der -Ebene - Parallelen zur - und Parallelen zur -Achse - in der -Ebene veranschaulichen. Diese Standard - Parallelen-Scharen sind möbiusgeometrisch ein parabolisches Kreisbüschel und sein polares orthogonales Kreisbüschel. Unsere generelle Fragestellung für dieses Kapitel lautet: wie bilden konforme Funktionen Kreisbüschel ab!
  • Die komplexe -Funktion bildet das oben angeführte Parallelen-Büschel einfach periodisch auf die konzentrischen Kreise um den Ursprung und die dazu orthogonalen Ursprungsstrahlen ab: aus dem parabolischen Kreisbüschel mit als Büschelpunkt wird ein hyperbolisch-elliptisches Kreisbüschel mit 0 und als Büschelpunkten! Siehe auch die Seiten über die exp-Funktion, bzw. die tan-Funktion.
  • Mit Hilfe von Möbiustransformationen und der -Funktion kann man also jedes parabolische Kreisbüschel auf jedes elliptisch-hyperbolische Kreisbüschel abbilden!
  • Mit der natürlichen Logarithmus-Funktion kann man dies teilweise umkehren!
  • Die Funktion bildet das parabolische Kreisbüschel zuerst auf das hyperbolisch-elliptische Kreisbüschel um 1 ab: und anschließend werden die Kreise und Strahlen des Büschels abgebildet auf die CASSINI-Kurven um die Brennpunkte +1, -1 und deren Orthogonalkurven, das sind gleichseitige Hyperbeln!
  • Generell: die komplexe Wurzel-Funktion bildet Kreise und Geraden auf CASSINI-Kurven ab (einteilige, zweiteilige, auf BERNOULLI-Lemniskaten, auf rechtwinklige Hyperbeln, und manchmal auch wieder auf einen Teil eines Kreises, oder auf 2 orthogonale Strahlen). Siehe auch "Kreisbüschel wurzeln"!
  • Die CASSINI-Kurven sind (von den Sonderfällen abgesehen!) die multiplikativen Pendants der additiven Gärtner-Konstruktions-Ellipsen: sie genügen einer Gleichung des Typs . Hier sind die Brennpunkte ! Das Bild oben zeigt aber keine "konfokalen" CASSINI-Kurven: CASSINI-Kurven sind bizirkulare Quartiken, diese besitzen 4 Brennpunkte; der 3. und 4. Brennpunkt ist bei den CASSINI-Kurven oben für je 2 Kurven verschieden! Nebenbei: in einem Netz von konfokalen bizirkularen Quartiken mit 4 verschiedenen Brennpunkten liegen nur 2 CASSINI-Kurven! Die zugehörigen Funktionen sind doppelt-periodische elliptische Funktionen, die in GeToolbar ImageGebra nicht implementiert sind.
  • Konfokale Kegelschnitte erhält man mit den Funktionen , bzw. .
Die Wurzel-Funktion bildet die -Ebene auf die rechte Hälfte der -Ebene ab, dies sieht man am ehesten in Polarkoordinaten: für , ist . Um die ganz -Ebene auszufüllen, muss man sich die -Ebene um eine Überlagerung , erweitert denken! Die CASSINI-Kurven besitzen eine weitere interessante Eigenschaften, die man als möbiusgeometrische Verallgemeinerung des Peripheriewinkel-Satzes bezeichnen kann!
  • Der Ort, in welchem sich die Geraden zweier Geradenbüschel unter konstantem Winkel schneiden, ist ein Kreis durch die beiden Büschelpunkte: der Umfangswinkel-Kreis.
  • Der Ort, in welchem sich die Kreise zweier Kreisbüschel unter konstantem Winkel schneiden, ist eine CASSINI-Kurve durch die Büschelpunkte der beiden Kreisbüschel!
  • Der Ort, in welchem sich die W-Kurven zweier W-Kurvenscharen berühren, ist eine CASSINI-Kurve.
W-Kurven sind die Bahnen einer Ein-Parameter-Untergruppe der zugrundeliegenden Bewegungsgruppe, hier ist dies die Gruppe der Möbiustransformationen. Die zuletzt genannten Sachverhalte werden in diesem GeToolbar ImageGebra-book im Kapitel Berührorte oder CASSINI-Kurven genauer beleuchtet.

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