Ganzrationale Funktionen - Definition
Defintion:
Als ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion vom Grad n bezeichnet man eine Funktion der Form
Polynomfunktionen werden also dadurch gebildet, dass mehrere Potenzfunktionen verschiedenen Grades addiert werden. Dabei werden sie in der Regel nach Potenzen absteigend sortiert.
Man bezeichnet die Vorfaktoren als Koeffizienten.
Beispiel:
ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 5.
Die Koeffizienten lautet .
Graphen zu ganzrationalen Funktionen
Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion lässt sich aufgrund der Koeffizienten und auftretenden Potenzen nur schwer vorhersagen.
Es lassen sich eigentlich nur zwei Aussagen treffen:
- Die höchste Potenzfunktion dominiert den Graphen "weit außen", d.h. für. Mit anderen Worten: Für große bzw. kleine x verhält sich der Graph wie .
- Die niedrigste Potenzfunktion dominiert den Graphen "nahe bei Null", d.h. der Graph verläuft so, wie für , wobei k die kleinste auftretende Potenz ist.
Durch Anwählen der Kreise lassen sich die Graphen zu g und h einblenden.
Beispiel 2:
Man betrachte den Graphen zu
"Außen" dominiert der Graph zu , im Bereich der y-Achse verläuft der Graph wie eine nach unten geöffnete, gestreckte Parabel, die um 2 Einheiten nach oben verschoben ist: