Umkehrfunktionen
Arbeitsauftrag
Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion einer Funktion f ist die Funktion f-1, die jedem Funktionswert sein Argument zuordnet:
f−1(f(x))=x und f(f−1(x))=x
Achtung: Die Schreibweise f−1 hat nichts mit dem Kehrwertzu tun.
Die Umkehrfunktion existiert nur, wenn jeder Wert in der Wertemenge höchstens einmal "getroffen" wird (wenn jede Parallele zur x-Achse den Graphen der Funktion höchstens einmal schneidet).
Das bedeutet: Werden bei einer Funktion die Werte aus der Wertemenge mehrmals "getroffen"
(z.B. f (x) =x2, g(x)=x4, h(x)=x6), muss man den Definitionsbereich so einschränken, dass sie jeden Wert aus der Wertemenge nur einmal "trifft". Anschließend kann man die Umkehrfunktion bilden.
Die Umkehrfunktion von f−1 ist wieder f
Definitions- und Wertemenge
Beim Umkehren vertauschen sich Definitions- und Wertemenge. Die Definitionsmenge von f ist die Wertemenge von f−1 und die Wertemenge von f ist die Definitionsmenge von f−1.
Aufgaben:
Applet 1:
1. Gib eine Funktion deiner Wahl ein.
2. Bewege den Punkt A und beobachte A' und seine Spur.
3. Schreibe auf was dir auffällt und erkläre/ergründe warum dieses Ergebnis herauskommt.
Applet 2:
1. Erstelle zu den einzelnen Funktionen die Umkehrfunktion, und bestimme dann ob die Umkehrfunktion überhaupt eine Funktion ist. Gib an woran du eine Funktion erkennen kannst und ob diese eine Umkehrfunktion besitzt.
2. Wie könnte die Funktionsgleichung aussehen, gib Vorschläge an.
3. Gib die Definitionsmenge der Funktionen an.