Interpretación geométrica de la deriva de una función
- Tema:
- Derivada
El escenario presenta una función polinómica g(x) de grado 3. También una recta secante determinada por los puntos P y Q de la gráfica de g. Así mismo, la recta tangente a g, en el punto P. Para efectos de una visualización acorde a los objetivos se modificó la escala del escenario, de modo que el eje x se presenta “estirado” respecto del eje y.
En la parte superior del escenario se presentan los valores constantes a, b, c y d que son los coeficientes de la expresión algebraica de g. Estos valores se pueden modificar moviendo los puntos de los deslizadores en un rango entre -5 y 5. También puede modificar estos valores al introducir cantidades específicas en las cajas de entrada. Usted podrá ver que la definición de la función g cambia al modificarse estos valores, así como la gráfica de g. Modifique dichos valores de manera que se los puntos P y Q se puedan observar que el escenario. Por ejemplo, a= 1.6, b=2.9, c=-3.5 y d=-2.9 son valores apropiados.
Los puntos P y Q se pueden mover a lo largo de la gráfica. Mantenga fijo el punto P y mueva el punto Q colocando el cursor sobre Q de manera que se acerque a P. Durante esta acción observe el segmento de color morado. Verá que se modifica su longitud.
Responda las siguientes preguntas:
¿Describa lo que observa en el segmento morado a medida de que Q se acerca a P?
¿Qué valor cree que tomará la longitud del segmento morado en el momento en que P=Q?
Relacione textualmente lo anterior con las coordenadas de los puntos P y Q que se observan en la parte superior del escenario.
Observe los valores de las pendientes de la recta secante s (color verde) y la recta tangente t (color rosa).
Describa lo que sucede con el valor de la pendiente de s a medida de que el punto Q se acerca al punto P.
La derivada de una función de x, si existe, también es una función de x. En el escenario, puede ver una casilla de control. Si hace click en la casilla podrá observar la función derivada g’(x), así como su gráfica. En este caso, la primera derivada de la función g (que es una función polinómica de grado 3), es una función polinómica de grado 2.
Se afirma que la primera derivada de una función g, en punto P, es igual al valor de la pendiente de la recta tangente en P.
Interprete la afirmación anterior y haga una descripción de tal afirmación aplicado a la situación que se le presenta en el presente escenario.