Aire d'un rectangle de diagonale constante
Soit ABCD un rectangle de diagonale de longueur fixée, le sommet C est situé sur un cercle de centre A.
Avec le même angle BÂD, un carré AEFG dont la diagonale [AF] a la même longueur que celle du rectangle ABCD.
Comment placer le point C pour obtenir un rectangle d' aire maximale ?
L'aire d'un rectangle de diagonale donnée est inférieure à l'aire du carré de même diagonale.
Il suffit de vérifier que l'aire du rectangle GICD vert est inférieure à celle du rectangle BEFI rose pour conclure.
La longueur GI est inférieure à la longueur BI, égale au côté du carré.
La largeur CI est inférieure à la largeur FI car l'angle en F du triangle rectangle CIF est inférieur à 45°.
A(GICD) < A(BEFI) d'où A(GICD) + A(ABIG) < A(BEFI) + A(ABIG),
soit A(ABCD) < A(AEFG).
Descartes et les Mathématiques - optimisation