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Le coniche come luoghi geometrici (2)

Disegna qui sotto: Toolbar Image uno slider a (l'intervallo [0, 5]) Toolbar Image due punti F1 e F2 (scrivere F_1 e F_2) Toolbar Image una circonferenza c di centro F1 e raggio 2a Toolbar Image un punto H su c e Toolbar Image il segmento F2H Toolbar Image l'asse del segmento F2H; colorare t di un colore diverso dagli altri elementi.
  • Abilitare la traccia per la retta t e spostare H su c. (Per ripulire il foglio da disegno, eliminando le tracce basta trascinare).
  • Fare diverse prove variando la posizione di F1, F2 e il valore di a (ovviamente le tracce lasciate da t quando variano a, F1 e F2 vanno cancellate prima di trascinare nuovamente H).

Quale figura si ottiene quando F2 è esterno alla circonferenza?

E quando F2 è interno alla circonferenza?

E quando F2 coincide F1?

L’insieme delle rette tracciate non è altro che l’insieme delle .....

Ma qual è il punto della retta t che appartiene alla curva? Per trovarlo disegnare Toolbar Image la retta F1H e il Toolbar Image punto T di intersezione tra t e F1H. Disegnare Toolbar Imagei segmenti TF1 e TF2 ed evidenziarli (colore, stile linea).

Poiché T appartiene all'asse di F2H allora TH=............... (1)



Si sposti F2 all'interno della circonferenza e si osservi che il raggio 2a=F1H= TH + ……...... e quindi, per transitività (ricordando (1)), 2a = ……… + ……….



Si può così concludere che, fissata una lunghezza costante AB=2a e due punti F1 e F2 (con F2 interno alla circonferenza di raggio 2a e centro F1) allora comunque si scelga H su c, rimane costante la …………………..… delle distanze di T da …….. e da …...... . Così al variare di H su c, T descrive il luogo geometrico dei punti del piano per i quali la somma delle …………………… da due punti fissi, detti fuochi, è ………..

Abilitare la traccia su T e osservare che al variare di H su c esso descrive un ….................

Si sposti F2 all'esterno della circonferenza e si osservi che si verifica una delle due relazioni (raggio=) 2a = TH - …….. oppure 2a = ………- TH. In generale si può scrivere che vale 2a= |TH- ……| e quindi per transitività (ricordando (1)) 2a = |……… - ………|

Si può così concludere che, fissata una lunghezza costante AB=2a e due punti F1 e F2 (con F2 interno alla circonferenza di raggio 2a e centro F1 ) allora comunque si scelga H su c, rimane costante la ………………..… delle distanze di T da …… e da ….. . Così al variare di H su c, T descrive il luogo geometrico dei punti del piano per i quali la differenza delle ………………………… da due punti fissi, detti fuochi, è ……………………….

Abilitare la traccia su T e osservare che al variare di H su c esso descrive un ……………………

Per disegnare in modo definitivo la conica (disabilitare le tracce) Toolbar Image il luogo dei punti: cliccare prima su T (=punto che descrive il luogo geometrico) e poi su H (=punto che genera il luogo geometrico). Suggerimento: aumentare lo spessore (stile linea) del luogo, dargli un colore contrastante con quello di t e poi tracciare le tangenti (abilitare la traccia di t e muovere H).