Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Classroom

E 07 Az E-háromszög nevezetes vonalai és pontjai

Legyen adott egy háromszög ...

... amelyen igyekszünk rendre bemutatni, hogy a középiskolai elemi geometriának a fenti címhez tartozó fogalmai, összefüggései miként tükröződnek ebben a szokásostól sok mindenben eltérő rendszerben. Továbbra is a három csúcsból és a három oldalegyenesből álló geometria alakzatot tekintsük háromszögnek. Korábban megismerkedhettünk az E-pont polárisának és az E-egyenes pólusának a fogalmával. Az alábbi szerkesztésekben gyakran lesz szükségünk az E-háromszög poláris háromszögére. Az ABCΔ csúcsainak a polárisait képezve kapjuk az ABCΔ poláris háromszögének - PABCΔ -nek - az oldalegyeneseit, oldalegyeneseinek a pólusaiként kapjuk a PABCΔ csúcsait. A háromszög és polárisa közötti kapcsolat szimmetrikus: egy háromszög polárisának a polárisa az eredeti háromszög. Egy kvadrát háromszög - amelynek az oldalai és szögei is derékszögek - egybeesik a poláris háromszögével. Ez így is megfogalmazható:
  • Egy E-háromszög akkor és csak akkor kvadrátháromszög, ha egybeesik a poláris háromszögével.
Az alábbi applet minden lépésében egy kvadrát háromszögből indulunk ki. Az ehhez vezető "fogásról" itt olvashatnak a technikai részletek iránt érdeklődő olvasóink. Az applet felhasználóinak természetesen meg van a lehetőségük arra, hogy az A, B, C pontok mozgatásával többféle általános helyzetet vizsgáljanak meg, és a megjelenő jelölőnégyzetek () ki-be kapcsolásával figyeljék meg alaposan az egyes geometriai objektumok közötti kapcsolatot. Előrebocsájtjuk, hogy az applet alapos vizsgálatához olykor hosszabb szöveges elemzés tartozik. A szöveg és az applet együttes tanulmányozása érdekében a szöveg az anyag végén pdf fájl formájában is hozzáférhető.

1. Magasságvonalak, magasságpont.

Kezdjük a vizsgálódást a kvadrát háromszöggel. Ennek bármely csúcsára illeszkedő E-egyenes merőleges a háromszög szemközti oldalára, ezért nincs egyértelműen meghatározható magasság-egyenese és magasságpontja sem. Ugyanezt mondhatjuk azokról az egyenlő szárú E-háromszögekről is, amelyeknek az alapon fekvő szögeik derékszögek. Bár ... ez definíció kérdése. Fogadjuk el a magasságpont definíciójaként az alábbi meghatározást:
  • Az ABCΔ magasságpontjának nevezzük azt az M pontot, amelyből a háromszög mindhárom oldalegyenesére merőlegest állítva a kapott egyenesek illeszkednek az oldalegyenesekre nem illeszkedő csúcsokra.
Ez a meghatározás megfelelő az euklideszi sík bármely háromszögére, így a derékszögűre is:
  • Az euklideszi sík minden háromszögének pontosan egy magasságpontja van;
  • A hiperbolikus síkon vannak olyan háromszögek amelyeknek nincs magasságpontjuk;
  • Az elliptikus sík minden háromszögének pontosan egy magasságpontja van, kivéve azt a háromszöget, amelynek legalább két derékszöge van. A kvadrát háromszögnek a sík minden pontja magasságpontja.
Mi a magasságpontok mértani helye, ha a háromszögnek pontosan két derékszöge van? A választ olvasóinkra bízzuk. Egy általános háromszög magasságegyenese illeszkedik nem csak a háromszög egyik csúcsára, hanem a szemközti oldal pólusára is, mivel egy adott egyenesre merőleges egyenesek illeszkednek az egyenes pólusára. Ezért pl, az (A,P_a) egyenes egyben az ABCΔ -nek az A csúcsához, a PABCΔ -nek a P_a csúcsához tartozó magasság-egyenese. Ezt használtuk ki a megszerkesztéséhez. Ez azt is jelenti, hogy mind a négy E-háromszöglaphoz és polárisaikhoz is ugyanaz a három magasság-egyenes, és ugyanaz az M magasságpont tartozik. (ABCΔ) (Magasságok) Az általános háromszög három csúcsa és a magasságpont itt is - épp úgy mint itt  (1.app)- un. ortocentrikus pontnégyest alkot: bármely három pontját egy háromszögnek tekintve a negyedik lesz a háromszög magasságpontja. (ABCΔ), (Magasságok), (PABCΔ) Az is figyelemreméltó, hogy az általános ABCΔ és a PABCΔ egymásnak megfelelő oldalainak a metszéspontjai egy E-egyenesre illeszkednek, amely az M pont polárisa. Így azt mondhatjuk, hogy a kapott alakzat egy speciális helyzetű Desarques alakzat (2.app.) , amelynek egyenesei az ABCΔ és a PABCΔ oldalegyenesei, és ezek - közös - magasságegyenesei - azaz 3+3+4 E-egyenes- alkotja a Desaqrques alakzat tíz egyenesét, és ezek pólusai lesznek az alakzat pontjai.

2. Felezőpontok, középvonalak, súlyvonalak, súlypontok

A fenti címben mindenütt többes szám szerepel. Hamarosan kiderül, hogy miért. Korábban láttuk, hogy az E-sík bármely két pontjához két tükörpont (szakasz felező pont) tartozik, amelyekre vonatkozó centrális tükrözés a két pontot egymásba viszi át. Mivel három E-pont három E-egyenest, (hat E-szakaszt) így hat felezőpontot határoz meg. (ABCΔ) , (√Felezőpontok), (√Középvonalak) Ha középvonalaknak e felezőpontokra illeszkedő E-egyeneseket tekintjük, azonnal látszik, hogy a hat pont csak négy középvonalat határoz meg: mindegyikre három felezőpont illeszkedik. (ABCΔ), (Súlyvonalak), (Súlypontok) Épp úgy mint az abszolút geometriában, itt is teljesül, hogy:
  • A háromszöglapok súlyvonalai egy pontra, a háromszöglap súlypontjára illeszkednek.
Összetett (nyitott?) kérdésnek tűnik a fenti állítás igazolása, ugyanis euklideszi geometriában ez a hasonlóság felhasználásával könnyen belátható, de a hasonlóság fogalma sem az elliptikus, sem a hiperbolikus geometriában nem létező fogalom. Itt volt szó arról, hogy miként lehet az E-háromszöglapok megkülönböztetésére használni a háromszög két oldalának egy-egy kijelölt pontját. Ez a kijelölt pont lehet egy-egy felezőpont is, így a háromszöglap egyértelmű megadásához használhatók a háromszöglapok súlypontjai is. Az A,B,C pontokkal megadott négy háromszöglapot jelöljük meg a súlypontja színével: legyensárgaaz, amelynek nincs közös pontja a modell alapkörével, továbbá rendre piros, zöld és kék az, amelyet az háromszög ugyanilyen színű oldala választ el a sárgától. Figyeljük meg, hogy az A, B, C pontok mozgatása közben ez az azonosítás érvényben marad. (ABCΔ) , (Súlyvonalak) Az ABCΔ kvadrátháromszög súlyvonalai, egyben szakaszfelező merőlegesek (és magasságegyenesek) is, tehát a háromszög tükörtengelyi lesznek. Így a háromszög oldalegyenesei és súlyvonalai együtt az E-síkot 4*6 =24 olyan egybevágó háromszögre bontják, amelynek a szögei 45°, 60°és 90°. Később lesz szó arról, hogy miként lehet még kiparkettázni az E-síkot egybevágó háromszögekkel. Ha az ABCΔ általános, akkor az oldalegyenesei és súlyvonalai által kapott 24 derékszögű háromszöglap természetesen nem lesz egybevágó, de együtt ugyancsak lefedik a síkot.

3. Szakaszfelező merőlegesek, a háromszög köré írt körei

Addig, amíg az abszolut geometriában három pontra legfeljebb egy kör illeszkedik, hamarosan látni fogjuk, hogy a fenti címben ugyancsak indokolt a többes szám. Mivel egy adott E-egyenesre merőleges egyenesek egy pontra - az egyenes pólusára - illeszkednek, a szakaszfelező merőlegesek megszerkesztéséhez a szakaszok felezőpontjai mellett szükségünk lesz az ABCΔ poláris háromszögének a P_a, P_b, P_c csúcsaira. (ABCΔ), (Felező-merőlegesek), (PABCΔ) Az ABCΔ oldalfelező merőlegesei az oldalak felezőpontjaira és az oldalegyenesek pólusira illeszkednek. (Felező-merőlegesek), (Köréírt kör kp.) Figyeljük meg, hogy négy olyan pont van, amelyre az így kapott hat egyenes közül három-három illeszkedik. Ez a négy pont ugyancsak ortocentrikus pontnégyest alkot: a hat szakaszfelező merőleges közül bármely kettőt kiválasztva vagy merőlegesen metszik egymást, vagy illeszkedik a metszéspontjukra egy harmadik egyenes is. (ABCΔ), (Köréírt kör kp.) +csúszka 0,...4 Összegezve: az E-sík három adott pontjára négy olyan kör illeszkedik, amelyek középpontjai rendre megszerkesztve - egy csúszkával vezérelve - egyenként megjelenítettük a négy körülírt kört is.

4. Szögfelezők, beírt körök

Itt ( 2. app. 4. lépés) már találkoztunk azzal az egyenlő szárú háromszöggel, amelynek van két derékszöge. Ennek a tulajdonságait kihasználva szerkeszthetjük meg egy E-háromszög szögfelező egyeneseit. Pl. az A csúcshoz tartozó szögfelezők illeszkednek az A csúcs polárisán lévő P_b , P_c szakaszok felezőpontjaira. (ABCΔ), (PABCΔ), majd: (Szögfelezők) Vegyük észre, hogy az ABCΔ poláris háromszögének - a PABCΔ -nek - a szakaszfelező merőleges egyenesei lesznek egyben az ABCΔ szögfelezői. Korábban láttuk, hogy a egy E-háromszög köré írt köreinek a középpontjai ortocentrikus pontnégyest alkotnak .Így a négy beírt kör középpontjai - amelyek mindegyikére három szögfelező illeszkedik - ugyancsak ortocentrikus pontnégyest alkotnak. (ABCΔ), (Szögfelezők.) Ugyanakkor - éppúgy, mint ahogy az euklideszi geometriában a háromszöglap külső- és belső szögfelezői - az ABCΔ egy-egy csúcsára illeszkedő szögfelezők is merőlegesek egymásra. Csak itt értelmét veszti a"belső", és "külső" megkülönböztetés. Sőt, ebben az anyagban nem is használtuk a háromszöglap fogalmát.

Nevezetes vonalak és pontok