Winkel - Definition und Visualisierung
Ein Winkel ist in der ebenen Geometrie durch drei Punkte A, B, C oder zwei Halbgeraden (Strahlen) h1 und h2 mit gemeinsamen Anfangspunkt A festgelegt.
Der Winkel = winkel(B,A,C) = winkel(h1,h2) ist hier farbig markiert.
Durch Ziehen an C kann man den Winkel verändern.
Mit der Schaltfläche Animation ein wird visualisiert, wie ein Strahl das Winkelfeld von h1 bis h2 gegen den Uhrzeigersinn überstreicht.
Definition und Veranschaulichung eines gerichteten Winkels
Bezeichnungen und Konventionen
- Der farbige Bereich zwischen h1 und h2 ist das Winkelfeld oder kurz der Winkel . h1 und h2 sind die Schenkel des Winkels, A ist der Scheitelpunkt und B und C sind die Schenkelpunkte.
- Winkel werden mit griechischen Buchstaben , , , ... benannt und mit einem kleinen Kreisbogen markiert.
- Winkel werden in Gradmaß gemessen, der Vollwinkel hat 360°.
- Es kommt beim Winkel-Befehl in GeoGebra auf die Reihenfolge der Punkte bzw. der Halbgeraden an. Wir haben damit gerichtete Winkel. Der Winkel = winkel(C,A,B) = winkel(h2,h1) wäre dann das hier nicht gefärbte Winkelfeld. = 360° - .
Didaktische Hinweise
"Aus Sicht der Didaktik gilt der Winkelbegriff als schwierig“ (G. Holland). Das hat seine Gründe.
- Es geht hier um gerichtete Winkel zwischen 0° und 360°, das ist typisch für die euklidische ebene Geometrie und auch für DGS. Ihre Größe kann man auf Papier mit dem Winkelmesser/ Geodreieck messen (problemlos bis 180°, bei überstumpfen Winkel muss man in zwei Schritten vorgehen). Bei DGS ist die Größe eine Eigenschaft des Objekts Winkel, d. h. durch den Winkel-Befehl wird ein Winkel definiert und gleichzeitig auch gemessen.
- Überstumpfe Winkel können nur bei gerichteten Winkeln auftreten.
- In der Analytischen Geometrie werden üblicherweise ungerichtete Winkel zwischen 0° und 180° betrachtet. Ihre Größe wird dann aus zwei Vektoren mit dem Skalarprodukt berechnet.
- In GeoGebra kann man bei den Eigenschaften des Winkels einstellen, dass immer nur der nicht-überstumpfe Winkel zwischen 0° und 180° gezeigt und gemessen werden soll.
- Wenn man bei Abbildungen Drehungen im Uhrzeigersinn durchführen will, gibt man dem Winkel auch ein negatives Vorzeichen.
- In GeoGebra kann man wie in DGS und Mathematik üblich Winkel durch drei Punkte oder zwei Halbgeraden definieren. Man kann in GeoGebra aber Winkel auch durch zwei Geraden definieren. Davon möchte ich abraten! Von den vier Winkeln an der Geradenkreuzung kann man mit zwei Geraden immer nur einen definieren.