Ableitung der Exponentialfunktion
Teil 1: Ableitung der Exponentialfunktion - graphisch
Auftrag 1
Bewegen Sie den Punkt mit der Maus entlang des Graphen der Funktion . Zeichnen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion in Ihr Heft im Intervall (eine Kästchenlänge entspricht einer Einheit), in dem Sie die Tangentensteigung übertragen. Verbinden Sie anschließend die Steigungswerte miteinander, sodass der Graph der Ableitungsfunktion entsteht.
Auftrag 2
Aktivieren Sie den Punkt . Verschieben Sie den Punkt entlang des Graphen der Funktion und beobachten Sie die Spur der Steigungsfunktion. Vergleichen Sie diese mit Ihrem Graphen im Heft.
Auftrag 3
Identifizieren Sie den Funktionstyp der Ableitungsfunktion. Erklären Sie Ihre Herangehensweise/Ihre Vermutung.
Tipp: Sollten Sie Schwierigkeiten bei der Bearbeitung dieses Auftrags haben, so wiederholen Sie den Auftrag 1 und 2 für eine andere Exponentialfunktion (z.B. ). Führen Sie den Auftrag 2 ggf. nochmal mit einer anderen Exponentialfunktion durch, indem Sie in das Algebrafenster links neben dem KS klicken und verändern.
Teil 2: Ableitung der Exponentialfunktion - rechnerisch
Im Folgenden wird die Ableitung der Exponentialfunktion mit dem Differentialquotient an der Stelle hergeleitet. (Wiederholen Sie die Formel zur Bestimmung der Ableitung in einem Punkt mit dem Differentialquotienten. Schauen Sie ggf. nochmal in Ihrem Hefter oder in den Kursdateien nach.)
Auftrag 4 Bringen Sie die einzelnen Schritte für die Ableitung (im unteren Fenster) in die richtige Reihenfolge.Auftrag 5
Erklären Sie (schriftlich) die einzelnen durchgeführten Schritte.
Auftrag 6
Beantworten Sie die folgende Frage:
Welche Art von Term erhält man rechnerisch für die Ableitung einer Exponentialfunktion?
Vergleichen Sie mit Ihrer Vermutung aus Teil 1, Auftrag 3.
Auftrag 7
Der Ausdruck ist eine von unabhängige feste Zahl. Übertragen Sie die Tabelle in Ihr Heft und berechnen Sie die zugehörigen Werte für den Ausdruck für eine Basis Ihrer Wahl.
Notieren Sie die Ableitungen (näherungsweise) für folgende Funktionen:
1.
2.
3.
4.
5.
Tipp: Identifizieren Sie zunächst die Basis und berechnen Sie dann erneut den Quotienten wie in der Tabelle.
Teil 3: Ableitung der Exponentialfunktion - ein Spezialfall
Auftrag 8
Variieren Sie die Einstellungen für die Basis , indem Sie den Schieberegler bewegen. Untersuchen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion. Notieren Sie Gemeinsamkeiten (oder Unterschiede).
Auftrag 9
Für einen bestimmten Wert (die Basis) sind der Graph der Funktion und der Graph der Ableitungsfunktion identisch. Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung aus Auftrag 8 möglichst exakt die Basis so, dass für die Funktion und der Ableitungsfunktion für alle gilt.
Auftrag 10
Überlegen Sie, wie die Basis rechnerisch so bestimmt werden kann, dass gilt. Notieren Sie einen Ansatz und führen Sie die Rechnung durch.
Tipp: Sollten Sie bei der Bewältigung des Auftrag 10 Hilfe benötigen, so schauen Sie sich dieses Video an:
Auftrag 11
Recherchieren Sie den Namen dieser besonderen Exponentialfunktion oder belesen Sie sich im Buch S. 209. Notieren Sie Eigenschaften dieser Funktion.
Teil 4 - Ableitung der Exponentialfunktion - allgemeingültig
Sie kennen nun die eine Möglichkeit Exponentialfunktionen abzuleiten und ihre Ableitungsfunktion mit Näherungswerten anzugeben. Zudem haben Sie die -Funktion, mit der besonderen Basis , der Eulerschen Zahl, kennengelernt und wissen, dass die Ableitung dieser Funktion ebenfalls die -Funktion ist. Im Folgenden werden Sie sich mithilfe der Umkehrfunktion der -Funktion eine allgemeingültige Ableitungsregel für alle Exponentialfunktionen erarbeiten.
Zur Erinnerung (10. Klasse - Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: Die Logarithmusfunktion) Die Funktion heißt Exponentialfunktion zur Basis a Die Funktion heißt Logarithmusfunktion zur Basis a und ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion mit der entsprechenden Basis. Grafisch erhält man also den Graphen der Umkehrfunktion, indem jeder Punkt der Exponentialfunktion an der Winkelhalbierenden mit dem selben Abstand gespiegelt wird.Genauso kann nun die Umkehrfunktion der -Funktion ermittelt werden.
Zu Veranschaulichung: Setzen Sie den Schieberegler und betrachten die Graphen der -Funktion und der Umkehrfunktion.
Wenn ist, dann gilt für die Umkehrfunktion . Da es sich bei der -Funktion um eine spezielle Exponentialfunktion handelt, liegt auch bei der Umkehrfunktion ein besonderer Logarithmus vor: der "logarithmus naturalis", kurz . Sie finden die Taste dafür auf Ihrem Taschenrechner.
Folglich gilt für die Umkehrfunktion der -Funktion .
Die Bedeutsamkeit dieser Umkehrfunktion wird genau dann ersichtlich, wenn Sie unten dargestellten Graphen und ihre Zusammenhänge untersuchen.
Auftrag 12
1. Erklären Sie die Graphen der dargestellten Funktionen.
2. Erklären Sie den Zusammenhang zwischen , und .
3. Ermitteln Sie mithilfe der Grafik die Werte für für die jeweilige Basis aus dem Auftrag 7.
4. Ziehen Sie begründet einen allgemeingültigen Schluss zur exakten Angabe der Ableitung von Exponentialfunktionen.
Auftrag 13
Fassen Sie Ihre Erkenntnisse aus den Aufträgen 1 - 12 zusammen und stellen Sie sie übersichtlich dar.
Auftrag 14
Bilden Sie jeweils die exakte erste Ableitung folgender Funktionen:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Notieren Sie Ihre Zwischenschritte.