Einführung Extremwertaufgaben am Beispiel des Berliner Bogens
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- Wünsche
An der Vorderseite des Berliner Bogens in Hamburg soll ein rechteckiges
Plakat mit möglichst großem Flächeninhalt angebracht werden.
Verschiebe den Punkt um die Gestalt des Rechtecks (symmetrisch zur y-Achse) zu verändern.
Beobachte den Zusammenhang mit der Ableitungsfunktion der Flächeninhaltsfunktion (in Abhängigkeit von )!
Vorgehensweise
- Hauptbedingung bestimmen: Ermittle die zu dem Sachverhalt, der maximiert oder minimiert werden soll, passende Funktion.
- Nebenbedingung aufstellen: Notiere die Gleichung der Nebenbedingung in mathematischer Schreibweise. In dieser Gleichung stehen vorerst immer zwei unterschiedliche Variablen, also z. B. a und b. (In einigen Fällen müssen mehrere Nebenbedingungen mathematisch ausgedrückt werden.)
- Zielfunktion bestimmen: Nebenbedingung umformen: Forme die Nebenbedingung so um, dass eine der beiden Variablen alleine auf einer Seite der Gleichung steht. Variable in Zielfunktion einsetzen: Ersetze in der Hauptbedingung eine Variable mit Hilfe der Nebenbedingung. Erhalte so eine Zielfunktion, in der nur noch eine Variable vor.
- Extremwert berechnen: Bestimme mit Hilfe der notwendigen bzw. hinreichenden Bedingung den gesuchten Extrempunkt.
- Fehlende Größen bestimmen: Nachdem eine Variable bestimmt ist, können alle fehlenden Größen berechnet werden. Setze dazu die bekannte Variable in die umgestellte Nebenbedingung(en) ein.
- Lösung angeben