Costruzione del quadrilatero ciclico convesso
Costruire un quadrilatero ciclico convesso, conoscendo le lunghezze dei suoi lati in un ordine dato.
La costruzione con relativa dimostrazione segue quanto proposto nel sito "cut-the-knot" all'indirizzo:
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Constructions/CyclicQuadrilateral.shtml.
Naturalmente si suppone l’esistenza del quadrilatero convesso e questo si verifica quando la somma delle lunghezze di tre lati è sempre maggiore del quarto lato.
Usiamo il metodo di analisi e sintesi.
Supponiamo che il quadrilatero ciclico esista.
Disegniamo CM, con M sul prolungamento del segmento AD, in modo che ∠DCM = ∠BAC. I triangoli ABC e CDM risultano simili perché ∠ABC = 180° − ∠ADC = ∠CDM. La similitudine dei triangoli implica la proporzione DM/b = c/a e quindi DM = bc/a. Inoltre per la stessa similitudine AC/CM = a/c. Ciò ci dice che C si trova sul luogo dei punti le cui distanze dai punti A e M sono nel rapporto a/c. Tale luogo è una circonferenza di Apollonio.
Queste informazioni sono sufficienti per realizzare la costruzione.
Supponiamo che d sia maggiore o uguale alle altre tre lunghezze date.
Bisogna dimostrare che C esiste. La circonferenza di Apollonio interseca il segmento AM nel punto K in modo tale che AK = (ad + bc)/(a + c). Infatti AM = d + bc/a per costruzione e AK/KM = a/c perché K appartiene alla circonferenza di Apollonio.
Verifichiamo che AK ≤ d cioè K sta a sinistra di D o coincide con esso. Infatti:
Queste informazioni sono sufficienti per realizzare la costruzione.
Supponiamo che d sia maggiore o uguale alle altre tre lunghezze date.- Costruiamo i punti A e D a distanza d. Sulla retta AD dalla parte di D costruiamo M tale che d(D,M) = bc/a.
- Costruiamo il punto C intersezione tra la circonferenza di centro D e raggio c e la circonferenza di Apollonio luogo dei punti P tali che d(A,P)/d(P,M) = a/c.
- Costruiamo il punto B intersezione tra la circonferenza di centro A e raggio a e la circonferenza di centro C e raggio b.
Bisogna dimostrare che C esiste. La circonferenza di Apollonio interseca il segmento AM nel punto K in modo tale che AK = (ad + bc)/(a + c). Infatti AM = d + bc/a per costruzione e AK/KM = a/c perché K appartiene alla circonferenza di Apollonio.
Verifichiamo che AK ≤ d cioè K sta a sinistra di D o coincide con esso. Infatti:
d − (ad + bc )/(a + c) = (cd − bc)/(a + c) = c(d − b)/(a + c) ≥ 0
perché b ≤ d. Inoltre KD = c(d − b)/(a + c) è minore di c. Infatti:c(d − b)/(a + c) − c = [c/(a + c)](d − b − a − c) = [c/(a + c)][d – (b + a + c)] < 0
perché un lato del quadrilatero è sempre minore della somma degli altri tre. Possiamo quindi essere certi che nel secondo passaggio la circonferenza di centro D e raggio c e la circonferenza di Apollonio si intersecano in un punto C. Bisogna ora dimostrare l’esistenza di B. Consideriamo la disuguaglianza triangolare CM < c + DM. Per costruzione DM = bc/a e poiché il punto C appartiene alla circonferenza di Apollonio AC/CM = a/c e quindi CM = AC c/a. Sostituendo nella disuguaglianza triangolare si ha AC c/a < c + bc/a e quindi AC < a+b. Possiamo quindi essere certi che nel terzo passaggio la circonferenza di centro A e raggio a e la circonferenza di centro C e raggio b si intersecano in un punto B. Abbiamo così costruito due triangoli ABC e CDM con lati proporzionali e quindi simili. In particolare ∠ABC = ∠CDM e quindi ∠ABC + ∠ADC = 180°. Il quadrilatero ABCD è ciclico. La costruzione determina il quadrilatero in modo univoco, tuttavia, se ignoriamo l'ordine dei lati, ci sono, in linea di principio, sei quadrilateri ciclici diversi con lati di misure a, b, c, e d. Tutti hanno la stessa area data dalla formula di Brahmagupta valida per i quadrilateri ciclici convessi:A = √[(p − a)(p −b)(p − c)(p − d)],
dove p è il semiperimetro del quadrilatero: p = (a + b + c + d)/2. Tutti e sei condividono anche il raggio R della circonferenza circoscritta che si ricava dalla relazione di Parameshvara / Lhuilier:16R2 = (ad + bc)(ac + bd)(ab + cd) / [(p − a)(p − b)(p − c)(p − d)].
Il quadrilatero ciclico convesso è anche il quadrilatero convesso di area massima costruibile con le misure dei lati date. Infatti la formula di Bretschneiner relativa all’area dei quadrilateri convessi:A = √[(p − a)(p − b)(p − c)(p − d) – abcd cos2((α +ϒ)/2)],
dove α e ϒ sono due angoli opposti del quadrilatero, ha valore massimo quando cos((α + ϒ)/2) = 0 e questo si verifica quando α e ϒ sono supplementari. La seguente figura dinamica permette di visualizzare il quadrilatero ciclico note le misure dei suoi lati al variare delle misure stesse a partire dal lato di lunghezza maggiore.