Continuidade: uma abordagem mais séria

Argomento:Continuità, Calcolo differenziale, Limiti

Como caracterizar funções contínuas?

Na atividade anterior, tivemos uma abordagem visual a respeito de continuidade, mas... Como podemos caracterizar continuidade? É sobre isso que falaremos aqui, mas antes precisamos de falar rapidamente sobre limites. A seguir há um vídeo em que eu explico sobre a definição formal de limite para que possamos DEPOIS fazer esta caracterização. Como eu falo um pouco lento, você pode colocar o vídeo em 2X que dá para entender tudo o que está sendo tratado. :-)

Definição formal de limite

Agora sim... Vamos falar de continuas

No vídeo seguinte eu explico como vamos caracterizar funções contínuas usando a ideia de Limite. A classe das funções cujo limite em um ponto for igual à imagem do ponto é o que vamos chamar de funções contínuas. No vídeo a seguir há uma explicação sobre isso e logo a seguir um resumo do que foi falado no vídeo. Se não precisar da explicação, já pode ir diretamente para o tópico Funções Contínuas Elementares.

Definição de Continuidade

Definição de Continuidade em um ponto

Os exemplos anteriores mostram, graficamente, situações em que o leitor pode ver os pontos em que a função é descontínua, mas lembre-se que imagens são ilustrações que ajudam no entendimento do conceito, mas é importante que se tenha claro o que significa ser uma função contínua em um ponto

qualquer.

é uma função contínua em

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Funções contínuas elementares

A continuidade é um "fenômeno" local, ou seja, dizemos que uma função é ou não contínua em um ponto x=a qualquer. Caso a função seja contínua em todos os pontos de um intervalo I, dizemos que a função é contínua em I (o intervalo I pode ser até a reta toda). São funções contínuas em todos os pontos da reta real

f(x)=k em que k é uma constante real qualquer.
g(x)=x

A função h(x)=√x é uma função contínua para qualquer valor de x>0. A seguir há um ambiente em que pode colocar a função que desejar para ver como é o seu aspecto gráfico.

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Propriedades para funções contínuas

Considere que as funções f(.) e g(.) são contínuas em x=a. Então, são contínuas também as funções

f(.)+g(.)
g(.)-g(.)
f(.)*g(.)
f(.)/g(.) SE g(a) for diferente de zero.

Desse modo, é fácil identificar pontos onde as funções são contínuas se conseguir identificar quais são os "tijolinhos" que produzem a função. Por exemplo

Olhe para o numerador: x+1 é um polinômio, logo é uma função contínua em todos os pontos, pois é uma soma de funções contínuas (lembra das funções contínuas elementares de ali mais em cima?). O denominador é uma função contínua, mas apenas se x>0. Então, se x>0 tanto o numerador quanto o denominador serão funções contínuas, certo? Se necessário, use o ambiente a seguir para ver o gráfico da função.

Coloque a lei da função no campo a seguir para ver o gráfico

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