Spiegel-Rätsel April 2022

Algebraische Bestimmung von θ aus ψ (⟶ siehe anderes Geogebra-Blatt für eine geometrische Konstruktion) Wir setzen:

θ := Winkel im Rechteck
ψ := Winkel zw. Kreisen.
ρ := R/D = Radius des Kreises / Länge der Diagonale

Wir werden folgendes Beweisen: Theorem: θ = ψ + π/4 - arccos(cos(ψ)/√2). Um dieses Theorem zu beweisen, brauchen wir ein paar Zwischenergebnisse. Beobachtung 1. Aus der Geometrie ergeben sich:

ψ > θ
(D·sin(θ) – R) = D/2 - R/tan(ψ)
(D·cos(θ) – R) = D/2 + R/tan(ψ)

Darum gelten: (1)... sin(θ) = ½ + (1 – 1/tan(ψ)) ρ (2)... cos(θ) = ½ + (1 + 1/tan(ψ)) ρ Folgerung 1. ρ = (sin(θ) + cos(θ) - 1)/2. Beweis: Aus (1) + (2) ergibt sich durch die Summe: (1) + (2) ⟹ sin(θ) + cos(θ) = 1 + 2ρ ⟹ ρ = (sin(θ) + cos(θ) - 1)/2 QED Folgerung 2. tan(ψ) = (sin(θ) + cos(θ) - 1)/(cos(θ) - sin(θ)) Beweis: Um die Umformungen weniger mühselig zu gestalten, schreibe hier t := tan(ψ), s := sin(θ), c := cos(θ) Aus (1) + (2) ergibt sich: (1) + (2) ⟹ (1 - 1/t)/(1 + 1/t) = (s - ½)/(c - ½) ⟹ (t - 1)/(t + 1) = (2s - 1)/(2c - 1) ⟹ (2c - 1)(t - 1) = (2s - 1)(t + 1) ⟹ t = (s + c - 1)/(c - s) QED Jetzt können wir das Theorem beweisen. Beweis (von Theorem): Zunächst brauchen wir eine Nebenrechnung: - cos(ψ) - sin(ψ) = √2·(cos(ψ)cos(π/4) - sin(ψ)sin(π/4)) = √2·cos(ψ + π/4). - sin(ψ) + cos(ψ) = √2·(sin(ψ)cos(π/4) + sin(π/4)cos(ψ)) = √2·sin(ψ + π/4). Aus Folgerung 2 erhält man nun: (Folg2) ⟹ (cos(θ) - sin(θ))tan(ψ) = sin(θ) + cos(θ) - 1 ⟹ 1 = (1 - tan(ψ))cos(θ) + (1 + tan(ψ))sin(θ) ⟹ cos(ψ) = (1 - tan(ψ))·cos(ψ)·cos(θ) + (1 + tan(ψ))·cos(ψ)·sin(θ) = (cos(ψ) - sin(ψ))·cos(θ) + (cos(ψ) + sin(ψ))·sin(θ) = √2·cos(ψ + π/4)cos(θ) + √2·sin(ψ + π/4)sin(θ) [siehe o.s. Nebenrechnung] = √2·cos(ψ + π/4 - θ) Da nun - θ, ψ ∈ [0, π/2] - θ < ψ (siehe oben), und damit - ψ + π/4 - θ ∈ [π/4, π/2 + π/4] ⊆ [0, π], gilt ψ + π/4 - θ = arccos(cos(ψ + π/4 - θ)) = arccos(cos(ψ)/√2) QED

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