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球面上の等角らせん

地球面上で、羅針盤を一定の角度にして進む航路(等角航路)はどういう曲線か? ちなみに大円航路と等角航路は全く異なる。角度は実測したもので近似値。

大航海時代の等角航路

この時代の航海で、目的地に行くために一番簡単な方法は、 北極に対して一定の角度で進む方法である。 羅針盤を見て角度を変えないように進めばいい。 これは、昆虫が月あかりに対して進路を決めているのと同じ。 昆虫は近いあかりだと、等角らせんを描きながらそのあかりに到達する。 この船も等角らせんを描きながらやがて北極に到達する。 この等角らせんを描くのにとても苦労した。 λ=π/2-exp(aθ) x=cosλ・cosθ y=cosλ・sinθ z=sinλ これはCと結んだ直線が等角なので、経線との角度が等角の場合を考慮する必要がある。 それは、 λ=sin⁻¹(tanh(t)) x=cosλ・cos(t 角度) y=cosλ・sin(t 角度) z=sinλ となる。

上の式の等角らせんの角度。上の図と違います。