Edredones grecolatinos
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Rompecabezas.
Imagina que tomas 10 colores (o las cifras del 0 al 9) y los distribuyes en un cuadrado 10x10 de modo que ninguna fila o columna repita color (o cifra). Habrás conseguido formar un cuadrado latino de orden 10.
Ahora, toma otros 10 colores diferentes y crea otra distribución similar. Si este nuevo cuadrado latino se puede superponer con el anterior de modo que cada color del primer cuadrado latino aparezca asociado una y solo una vez con cada color del segundo cuadrado latino, tendremos dos cuadrados latinos mutuamente ortogonales. El cuadrado resultante de superponer ambos cuadrados latinos ortogonales se denomina cuadrado grecolatino.
Leonhard Euler, matemático genial del siglo XVIII, realizó un minucioso análisis de este tipo de cuadrados mágicos. Demostró que era posible crear cuadrados grecolatinos de orden n siempre que n sea un número impar o un número par múltiplo de 4. Analizando el problema de los treinta y seis oficiales, conjeturó que no existen cuadrados grecolatinos de orden 6, y acertó. Después de intentar sin éxito encontrar algún cuadrado grecolatino de orden par que no fuera múltiplo de 4, conjeturó que tales cuadrados no existían. Esta vez se equivocó.
Por ejemplo, existen cuadrados grecolatinos de orden 10 (que es par y no es múltiplo de 4) como puedes comprobar en esta actividad. El primero fue encontrado en 1959, más de 175 años después de la muerte de Euler, con la ayuda de unas máquinas recién llegadas: los ordenadores. Pero lo más importante es que Euler murió convencido de que este tipo de combinatoria matemática tendría "pocas aplicaciones prácticas", fuera del propio avance matemático. Aquí también se volvió a equivocar: los cuadrados grecolatinos son, en la actualidad, de gran utilidad para la recogida de información de cultivos de ensayo, tanto en la agricultura como en la biología. También son esenciales en los sistemas de comunicación y en los códigos usados para corregir errores.
Como ves, ni siquiera los genios pueden evitar equivocarse alguna vez. En la actividad Las 16 cartas podrás intentar resolver tú mismo un rompecabezas basado en un cuadrado grecolatino de orden 4.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.