복소수와 그 연산
복소수의 뜻과 성질
실수의 제곱은 또는 양의 실수이므로 실수는 이차방정식 의 해가 될 수 없다. 따라서 이 방정식의 해가 존재하도록 하려면 실수가 아닌 새로운 수를 생각해야 한다.
제곱하여 이 되는 새로운 수를 생각하고 이것을 기호 로 나타낸다. 즉,
이다. 이러한 수 를 허수단위라 하고, 로 나타내기도 한다.
두 실수 , 에 대하여
꼴로 나타내어지는 수를 복소수라 하고, 를 이 복소수의 실수부분, 를 이 복소수의 허수부분이라고 한다.
한편 로 정하면 실수 는
로 나타낼 수 있으므로 실수도 복소수이다.
또 실수가 아닌 복소수 를 허수라고 한다.
두 복소수에서 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 각각 같을 때, 두 복소수는 서로 같다고 한다. 특히 , 가 실수일 때, 이면 이다.
심화 탐구: 복소평면이란 무엇인가?
실수를 수직선 위의 점과 대응시켜 나타낼 수 있는 것처럼 복소수를 좌표평면 위의 점과 대응시켜 나타내어 보자.
복소수 (, 는 실수)를 좌표평면 위의 점 에 대응시키면 이 점은 꼭 하나 정해지고, 역으로 좌표평면 위의 점 에 대하여 꼭 하나의 복소수 가 정해진다. 즉 복소수 전체의 집합과 좌표평면 위의 점 전체의 집합은 일대일대응 관계를 이룬다.
1-2i
5+0i
3i
, 또는
와 같이 나타낸다.복소평면에 복소수 나타내기 실습
직접 복소수를 입력하지 않고, 
복소수 도구를 이용하여 좌표평면 위의 특정 위치를 클릭하면 클릭한 점에 대응하는 복소수를 만들 수 있다. 복소수 도구를 이용하여 여러 복소수를 만들어보자.
복소수 도구를 이용하여 좌표평면 위의 특정 위치를 클릭하면 클릭한 점에 대응하는 복소수를 만들 수 있다. 복소수 도구를 이용하여 여러 복소수를 만들어보자.두 실수 , 에 대하여 복소수 의 실수부분과 허수부분은 다음과 같이 기호로 나타낸다.
,
또, 복소평면 위에서 실수 는 축 위의 점 으로, 순허수 는 축 위의 점 로 나타낼 수 있으므로, 축을 실수축, 축을 허수축이라 한다.