Ejercicios de Áreas entre curvas, Ejercicio Sección 5.4
Los economistas usan una distribución acumulada, llamada curva de Lorenz, para describir la distribución del ingreso entre las familias en un país dado. Típicamente, una curva de Lorenz se define entre [0,1], con los puntos extremos (0,0) y (1,1) y es continua, creciente y cóncava hacia arriba. Los puntos de esta curva se determinan ordenando todas las familias según sus ingresos y calculando el porcentaje de ellas cuyos ingresos son menores que, o iguales a, un porcentaje dado del ingreso del total del país. Por ejemplo, el punto (a/100 ,b/100 ) está sobre la curva de Lorenz, si el a% inferior de las familias recibe menos del b% del ingreso total o un porcentaje igual a este. Se tendría la igualdad absoluta de la distribución del ingreso si el a% inferior de las familias recibe el a% del ingreso. En cuyo caso la curva de Lorenz sería la recta y=x. El área entre la curva de Lorenz y la recta y=x mide en cuánto difiere la distribución del ingreso de la igualdad absoluta. El coeficiente de desigualdad es la relación del área entre la curva de Lorenz y la recta y=x al área debajo de y=x. Stewart, J. (2008)
a) Demuestre que el coeficiente de desigualdad es el doble del área entre la curva de Lorenz y la recta y=x; es decir, demuestre que Coeficiente de desigualdad o índice de Gini G=2∫_0^1▒〖[x-L(x)] dx〗
b) La distribución del ingreso para cierto país se representa mediante la curva de Lorenz definida por la ecuación
¿Cuál es el porcentaje del ingreso total recibido por el 50% inferior de las familias? Encuentre el coeficiente de desigualdad. Stewart, J. (2008)