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作図と証明について

証明なしの図形の楽しみ方の試み

極と極線の研究において、ほとんど証明はしなかった。 現象があり、その現象が面白いので、いろいろな仮説を試すことをやった。 仮説を試すことは、作図をすることだ。 そして、その結果は一目瞭然。 そして、いろいろな現象を探っているうちに、やがて原理へと遡っていく。 それは、その現象を起こす原理を探っていく過程であった。 これは極めて自然な私たちの思考ではないか。 公理→定理→定理・・・と進む数学の学習とは異なっているが、 むしろそういう発想は人間にはできない。 ただ、研究の成果としてまとめるときには、この公理主義は有効である。 だって、現象がなぜそうなるのか追求したくなるからだ。 この現象を引き起こしている原理(定義や公理)は何だろうと。 ユークリッドやガウスが現象を何とか体系づけようと考えたのは、こういうことではなかったのか。 さて、下の図を動かしていろいろ試してみよう。

証明の一つの方法

上の左側の図をどう証明したらいいのだろうか。 「楕円の外接三角形の頂点と接点を結ぶと、一点で交わる」 楕円で言えることは円でも言えるはずと考える。 円で試すと、実に当たり前。 そして、楕円は円を射影したものだから、円で成り立つことは楕円でも成り立つはず。 でも、長さは変わるけど・・・。そうだ、長さは変わるけど比は変わらない。 比例定数で約分できるから、楕円でも言える。 ところで、チェバの定理はどうするんだったけ。 確か、メネラウスの定理を使えば証明できると思う。 ではメネラウスの定理は?・・・比例で簡単に証明できる。 と言う様に、逆にたどっていけばとてもイメージしやすい。 円に外接する三角形の証明 ところで、右側はどう証明すれば良いのだろうか?

三角形の極は内接する二次曲線を持つ

証明

△ABCとその極Dの作る△EFGで、△ABCに内接し、△EFGに外接する二次曲線がある」 これを証明するために極線を使う。 Dを極とする△ABCの極線HIを作図することができる。 BDの延長線と極線の交点をKとすると、内接する四角形の交点Dの極線はHIであり、 ELとFMの交点はKとなる。 Iの極線はAFであり、したがってIとLを結んだ線はこの楕円の接線になる。 Mについても同様。 よって、五点からできるこの二次曲線は△ABCに内接する。 作図ナビゲーションを使って、作図のし方を調べてみよう。