Lei do seno
LEIS DO SENO
Bom, como podemos ver, uma vez estudando o triângulo retângulo para as diferentes ângulos internos do mesmo no primeiro quadrante, podemos montar a tabela de senos cossenos e tangente de um ângulo
que varie de 0° á 90° ou 0° á π/2 e a partir de sua simetria com relação ao eixo das ordenadas (OY) ou das abscissas (OX) e ainda a origem do plano cartesiano ponto (0,0), podemos encontrar os valores destas funções para o intervalo de 90° á 360° ou π/2 á 2π, estudando para isto o sinal de cada função em cada quadrante.
Desta forma, se a partir das relações entre os lados de um triângulo retângulo (ou de um ângulo) podem-se encontrar os valores de seno, cosseno e tangente do ângulo formado entre eles, então por que não fazer o contrário? Será que podemos a partir das medidas de seno ou cosseno de um ângulo encontrar as medidas dos lados?
É isto mesmo, e é desta maneira que poderemos perceber que a relação de seno e cosseno não existe apenas em triângulos retângulos e sim para um triângulo qualquer.
Que para isto percebemos alguns detalhes interessantes, vamos lá.
Com a ferramenta “polígono” desenhe um polígono de três lados ABC, (triângulo ABC), depois com a ferramenta “bissetriz” clique nos lados do triângulo dois a dois para encontrar o ponto comum entre estas retas (ponto D), sabe o que acabamos de encontrar? O baricentro do triângulo, (o leitor poderá estudar melhor a construção do baricentro de um triângulo no livro ESTUDO DE TRIÂNGULOS POR MEIO DO SOFTWARE GEOGEBRA), e para que sirva este ponto no centro do triângulo?
Por ele determinaremos o centro da circunferência circunscrita no triângulo em estudo, pois dela sairá à relação 2R da fórmula de leis de seno que será desenvolvida a seguir.
a/sen(A)=b/sen(B)=c/sen(C)=2r
E então você se pergunta de onde veio o 2R?Já lhe mostro.
Conforme passos já vistos neste livro, construa uma circunferência e dentro dela um triângulo reto e outro agudo, mas ambos com um lado comum e com todos os seus vértices pertencentes à circunferência. Conforme abaixo:
Percebe agora? A expressão c/sen(C)=2r é um caso particular do triângulo reto onde obteremos diagonal/sen(90)=2r que implica diagonal= diagonal/1.
Percebe agora?
Perceba que esta lei trata destas relações da mesma maneira que podemos tratar das proporções, a medida do lado (a) está para seu seno assim como a medida do lado (b) está para seu seno assim como a medida do lado (c) está para seu seno assim como a diagonal da circunferência (hipotenusa do triângulo retângulo) está para seu seno (sen(90) = 1) ou está para 2R ou se preferir esta para a diagonal.
Outra maneira de percebê-la esta no seguinte desenvolvimento, tome
c/sen(C)=2r
Se multiplicarmos ambas as partes da expressão por sen(C) teremos
sen(C) * c/sem(C)=2R * sen(C) ou
c = 2R sen(C)
Mas se pensarmos 2R como um lado que é a hipotenusa de um triângulo reto então teremos c = h* sen(C) e como sabemos que c é o lado oposto do ângulo c da função sem(c)
então dividimos agora ambos os lados da expressão por h e teremos
= sen(C) isto te lembra algo das páginas anteriores?
Assim, pela lei dos senos podemos obter as medidas dos lados de um triângulo sempre que saibamos um de seus ângulos e dois de seus lados ou mesmo se soubermos que um de seus lados é a medida da diagonal de uma circunferência, podemos obter o ângulo se tivermos o outro lado que a forma com a diagonal ou obter o lado se tivermos a medida do ângulo.
c/sen(C)=2R
Para o estudo mais aprofundado da lei dos senos é primordial que o aluno perceba os casos para quando o triângulo é retângulo, obtusângulo ou acutângulo, para tanto já adianto que os caminhos serão o mesmo e, portanto não iremos detalhar, ficando assim a disposição do leitor em abrir um bom livro de geometria e aprofundar em seus estudos, pois se lembrem de sempre de que este material nada mais é do que uma possível e simples utilização do software GeoGebra para o estudo de trigonometria, a noção básica para o uso do software.
Prossiga sempre com seus estudos.
= sen(C) isto te lembra algo das páginas anteriores?
Assim, pela lei dos senos podemos obter as medidas dos lados de um triângulo sempre que saibamos um de seus ângulos e dois de seus lados ou mesmo se soubermos que um de seus lados é a medida da diagonal de uma circunferência, podemos obter o ângulo se tivermos o outro lado que a forma com a diagonal ou obter o lado se tivermos a medida do ângulo.
c/sen(C)=2R
Para o estudo mais aprofundado da lei dos senos é primordial que o aluno perceba os casos para quando o triângulo é retângulo, obtusângulo ou acutângulo, para tanto já adianto que os caminhos serão o mesmo e, portanto não iremos detalhar, ficando assim a disposição do leitor em abrir um bom livro de geometria e aprofundar em seus estudos, pois se lembrem de sempre de que este material nada mais é do que uma possível e simples utilização do software GeoGebra para o estudo de trigonometria, a noção básica para o uso do software.
Prossiga sempre com seus estudos.